El valor absoluto de la constante es∏norte - 1k = 0(norte - 1k)
, que es A001142 hasta un turno de apagado. Aquí hay una prueba; tal vez alguien pueda encontrar uno mejor.
Dejarv⃗ j= ( (Xi+Xj)norte - 1)norteyo = 1
. Por el teorema del binomio,v⃗ j=∑norte - 1k = 0(norte - 1k)Xnorte - 1 - kj(Xki)norteyo = 1
. Por multilinealidad del determinante,
det (v⃗ 1, … ,v⃗ norte)=∑0 ≤k1, … ,knorte≤ norte - 1(norte - 1k1) ⋯ (norte - 1knorte)Xnorte - 1 -k11⋯Xnorte - 1 -knortenortedet (Xkji)norteyo , j = 1.
DejarXi=tyo - 1
ser la especialización principal. Elt
-grado del sumando es
( norte - 1 -k1) ⋅ 0 + ( norte - 1 -k2) ⋅ 1 + ⋯ + ( norte - 1 -knorte) ⋅ ( norte - 1 )+ ( 1 − 1 ) ⋅k[ 1 ]+ ( 2 − 1 ) ⋅k[ 2 ]+ ⋯ + ( norte - 1 ) ⋅k[ norte ]
dónde
k[ 1 ]≤ ⋯ ≤k[ norte ]
es el reordenamiento débilmente creciente de
k1, … ,knorte
. Esto se maximiza únicamente cuando
knorte= 0 ,knorte - 1= 1 , ... ,k1= norte - 1
entonces
k[ 1 ]= 0 ,k[ 2 ]= 1 , ... ,k[ norte ]= norte - 1
. Por lo tanto, el coeficiente de grado superior es
(norte - 1norte - 1) (norte - 1norte - 2) ⋯ (norte - 10) =∏norte - 1k = 0(norte - 1k)
. El resultado sigue ya que
∏1 ≤ yo < j ≤ norte(tj − 1−tyo - 1)
es monic.
Joshua P. Swanson
naranja
Joshua P. Swanson