¿Generalización de números primos a matrices?

¿Es posible generalizar números primos a matrices? Estoy tratando de resolver un cubo Rubix en el mínimo número de pasos y creo que esto sería útil. Creo que es posible representar las operaciones del cubo de Rubix en el lenguaje del álgebra lineal o de las matrices. A partir de ahí, tal vez pueda representar una solución del cubo de Rubix como un producto de matrices. Transformar un producto de matrices en su descomposición mínima (aquí es donde entra la versión principal de las matrices) debería proporcionar una solución 'mínima'.

Divulgación: esto es solo mi intuición y entiendo completamente si lo que acabo de escribir no tiene mucho sentido).

¿Conoces los anillos?
No. Tengo formación en econometría y estadística. He hecho un montón de diferentes materias de matemáticas de pregrado y posgrado. Estudié álgebra lineal avanzada pero no he estudiado anillos.
Me han dicho que busque en el artículo de Wikipedia sobre "Dominio de factorización único", pero agradecería más consejos.
Ya veo, no tengo tiempo para escribir una respuesta en este momento, pero generalmente los "números primos" son con respecto al sistema numérico en el que está trabajando, por lo que los números primos tienen sentido en los números enteros, pero los números primos en los números racionales. no tienen sentido, a pesar de que los números enteros están contenidos en los racionales. Estos sistemas numéricos se denominan anillos y, por lo general, las matrices forman un anillo, llamado anillo de matriz . Entonces, lo que quieres son los elementos principales de un anillo de matriz.
Sin embargo, debo señalar que los elementos primos solo tienen sentido en el caso de que tu anillo tenga multiplicación conmutativa. Sin embargo, la mayoría de los anillos de matriz no tienen multiplicación conmutativa.
Bueno, si representas una operación de cubo de Rubix como una matriz, entonces no tendrías que lidiar con números irracionales... También ten en cuenta que las operaciones de cubo de Rubix no son conmutativas
Sospecho que las matemáticas abstractas que intenta inventar son una aplicación de la teoría de grupos, no de la teoría de anillos. Busca en el cubo de rubik de teoría de grupos y encontrarás varios enlaces. Aquí hay uno: math.harvard.edu/~jjchen/docs/…
@Christian en una nota más fundamental: encontrar un esquema para representar las manipulaciones de Rubik con matrices se llama encontrar una representación del grupo de cubos de Rubik
@EthanBolker Me ganaste, pero sí, al leer la pregunta editada, parece que la teoría de grupos es realmente la herramienta adecuada para esto.
@Juan y Ethan: gracias por su consejo. Voy a leer los enlaces provistos y buscar una solución. Eventualmente, implementaría una solución en el lenguaje de programación Python como una verificación para ver si esto puede funcionar. Pero sospecho que me encontraré con un obstáculo al intentar descomponer una "matriz prima", ya que se sabe que la factorización de números primos es una tarea muy difícil. Sin embargo, todavía vale la pena una grieta.
Una de las manipulaciones más elementales es, por ejemplo, girar una fila hacia la izquierda. Pero incluso éste se puede descomponer, es decir, tres rotaciones a la derecha. ¿ Cómo definir una primera manipulación_ en este contexto?
Si quieres jugar con números primos en otro contexto, mira los enteros gaussianos. Estos son números complejos cuyas partes reales e imaginarias son números enteros. Son divertidamente diferentes. 10 = ( 3 + i ) ( 3 − i ) entonces, ¿todavía se aplica la factorización única?

Respuestas (1)

Una conexión peculiar entre números primos y productos de matrices es a través de la definición de la llamada función zeta dinámica . No estoy seguro de que esto sea lo que estás buscando, pero puede darte algunas ideas. Aquí hay una aplicación explícita a productos de matrices https://arxiv.org/abs/chao-dyn/9301001

¿Generalización de números primos a matrices?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v