¿Una explicación simple para la ecuación de Schrödinger y el modelo del átomo? [cerrado]

Pruebe esta explicación para el tamaño: es como me gusta pensar sobre la ecuación de Schrödinger y bastante cerca de cómo Richard Feynman la introduce en su discusión sobre el hamiltoniano en las "Conferencias de física de Feynman" en el capítulo 8 "La matriz hamiltoniana" del tercer volumen. Esta sería una buena referencia para que la lea si está abrumado por la página de Wikipedia.

Fondo

Supongamos que aceptamos que el "estado" de un sistema está codificado como un vector en algún espacio de Hilbert (es decir, esencialmente un espacio vectorial en el que se definen los productos internos y las normas): consideremos, por ejemplo, un oscilador armónico cuántico, por lo que codificaremos el estado como una secuencia discreta de números complejos$\Psi = \{\psi_0, \psi_1, \cdots\}$, tal que$\sum_j |\psi_j|^2 = 1$.$\psi_0$es la amplitud de probabilidad de que el sistema se detecte en el estado fundamental cuántico, es decir, lo más cerca posible de "desenergizado" sin violar la desigualdad de Heisenberg,$\psi_1$la amplitud de probabilidad de que el oscilador esté en un estado de un fotón, es decir, su energía es$\hbar \omega$,$\psi_2$la amplitud que es el estado de dos fotones, y en general$\psi_N$la actitud que está en un$N$-estado fotónico; o, si se quiere, la amplitud que ha tenido$N$-fotones agregados a su estado fundamental desde algún lugar fuera del sistema oscilador. Más generalmente, el$\psi_j$son las amplitudes de probabilidad de que el sistema sea detectado como si estuviera en el$j^{th}$estado base: uno de los vectores base para el espacio de estado de Hilbert y no tienen que ser los estados equiespaciados del oscilador armónico; podría ser otro sistema por completo. Obviamente, el sistema siempre debe estar en algún estado, por lo que la relación$\sum_j |\psi_j|^2 = 1$siempre aguanta.

Las ideas básicas

La ecuación de Schrödinger es muy general: simplemente dice que la composición y el funcionamiento de un sistema cuántico son, en cierto sentido, "constantes" cuando el sistema se separa del resto del mundo. Esta declaración vaga tiene más sentido en símbolos: la descripción matemática tiene que ser invariable con respecto a los cambios de tiempo: si comienzo con un estado cuántico a las 12 en punto y lo evoluciono hasta la 1 en punto, entonces la evolución de mi estado va a Sería lo mismo que si empezara con el mismo estado a las 4 y esperara hasta las cinco. Ahora, asumimos linealidad, de modo que nuestro vector de estado (ahora escrito como vector columna) va a evolucionar siguiendo alguna ecuación matricial:$\psi(t) = U(t) \psi(0)$, donde la matriz de transición de estado$U(t)$debe:

1. Realizar$U(t+s) = U(t) U(s) = U(s) U(t)$para cualquier intervalo de tiempo$t$y$s$. Esta es simplemente nuestra discusión sobre la invariancia del cambio de tiempo anterior. Inmediatamente sabemos$U(t) = \exp(A t)$, para alguna matriz constante$A$como la exponencial es la única función continua con esta propiedad de invariancia de cambio de tiempo;
2. Debe ser unitario: esto quiere decir que debe conservar normas, de modo que$\sum_j |\psi_j|^2 = 1$se cumple en todo momento: esto simplemente dice que el sistema tiene que estar en algún estado, debido a la interpretación de probabilidad de las magnitudes al cuadrado. ¿Qué justificación tenemos para esto? Bien, si el estado vagara fuera de nuestro espacio de estados de Hilbert, entonces ese espacio de Hilbert no sería una buena descripción de todos los estados posibles del sistema. Así que simplemente agregaríamos vectores base a nuestro espacio de Hilbert y lo expandiríamos hasta que fuera una buena descripción de todos los estados posibles del sistema.

Entonces, la evolución de estado más general posible es$\psi(t) = \exp(-\hbar^{-1} i\, \hat{H}\, t)\,\psi(0)$, dónde$\hat{H}$es una matriz hermitiana constante (esto es equivalente a la declaración de unitaridad). Esto a su vez es equivalente a:

que es la ecuación de Schrödinger. Esperemos que la naturaleza esencial de la ecuación de Schrödinger ahora quede clara:

La ecuación de Schrödinger para un sistema cuántico afirma (i) la invariancia del cambio de tiempo del sistema y (ii) que el sistema siempre debe estar en algún estado en el espacio de estado de Hilbert cuando ese sistema se separa del resto del mundo.

Por el bien de este argumento, simplemente piense en$i$y$\hbar$como constantes que he sacado arbitrariamente del lado derecho. Hacen los observables : los operadores que definen los resultados de la medición dado un estado del sistema.$\psi$- más fácil de interpretar. Sacamos la constante$i$por lo que nuestra condición de unidad es que nuestra$\hat{H}$matriz es hermítica en lugar de hermítica sesgada (es decir, sus valores propios y, por lo tanto, los posibles resultados de la medición son reales en lugar de imaginarios) y la$\hbar$tiene dos funciones:

1. $\hat{H}$es un observable constante de tiempo básico; cantidades conservadas, es decir , aquellas que no varían con el tiempo, son aquellas cuyos observables conmutan con$\hat{H}$. Puede derivar esta declaración con un poco más de trabajo de la ecuación de Schrödinger (es decir, transformando a la imagen de Heisenberg ). Entonces puedes postular que$\hat{H}$es la energía observable. Por lo tanto, necesitamos una constante de escala de equilibrio de unidades para hacer que el exponente sea adimensional en in$\psi(t) = \exp(-\hbar^{-1} i\, \hat{H}\, t)\,\psi(0)$;
2. Da la expresión del principio de incertidumbre de Heisenberg en su forma más clara. Pero esa es otra historia aparte de la ecuación de Schrödinger: mira mi respuesta aquí .

A menudo se elige transformar las coordenadas del espacio de estado y relajar la condición de invariancia del cambio de tiempo. En este caso obtenemos la ecuación de Schrödinger variable en el tiempo como la describo aquí .

Una última cosa que podría parecerle misteriosa es que la página Wiki trata con funciones de onda continuas en lugar de vectores de estado discretos. Esto es simplemente un cambio de coordenadas: si lo desea, piense en componentes discretos de Fourier que representen una función continua equivalente como ejemplo. Los argumentos anteriores sobre la ecuación de Schrödinger funcionan igual de bien en principio si$\psi$puede ser un vector de columna discreta$\{\psi_j(t)\}_{j=0}^\infty$o una función continua$\psi(\mathbf{r},\,t)$de algún vector de variables$\mathbf{r}$, por ejemplo posición. Sujeto a las condiciones apropiadas, también se puede pensar que las funciones continuas viven en un espacio de Hilbert de dimensión infinita numerable. Simplemente depende de la descripción más conveniente para el problema en cuestión.