Valor esperado de p2(1/r)+(1/r)p2p2(1/r)+(1/r)p2p^2 (1/r) + (1/r) p^2

estoy tratando de derivar ⟨ k yo | { 1 / r , pag 2 } | norte yo ⟩ , donde los estados satisfacen la ecuación de movimiento (omito los factores de 1 / 2 metro etc.):

( pag 2 + V ) | norte , yo ⟩ = mi norte | norte , yo ⟩

y { A , B } = A B + B A es el anticonmutador. Tengo dos soluciones a mano que difieren. En general puedo escribir:

⟨ k , yo | { 1 / r , pag 2 } | norte , yo ⟩ = ⟨ k , yo | 1 / r   pag 2 + pag 2   1 / r | norte , yo ⟩

y puedo usar eso pag 2 ∝ − ∇ 2 y ∇ 2 1 / r ∝ − d ( 3 ) ( r ) .

Ahora quiero dejar pag 2 actuar primero sobre los respectivos estados y dejar 1 / r actúe más tarde, de modo que pueda usar el eom. Así que tengo:

⟨ k , yo | 1 / r   pag 2 + pag 2   1 / r | norte , yo ⟩ = ⟨ k , yo | 1 / r   ( mi norte − V ) + ( mi k − V )   1 / r | norte , yo ⟩

En esta solución, dejo que el primer sumando actúe sobre el ket y dejo que el segundo sumando actúe sobre el sujetador. Sin embargo, cuando lo hago al revés, usando la regla del producto ∇ 2 ( 1 / r   ψ ) = ( ∇ 2 1 / r ) ψ + 1 / r ( ∇ 2 ψ ) y uso el eom para el segundo término que obtengo:

⟨ k , yo | 1 / r   pag 2 + pag 2   1 / r | norte , yo ⟩ = ⟨ k , yo | d ( 3 ) ( r ) + ( mi k − V ) + ( mi norte − V ) + d ( 3 ) ( r ) | norte , yo ⟩ = ⟨ k , yo | 1 / r   ( mi norte − V ) + ( mi k − V )   1 / r | norte yo ⟩ + 2 ⟨ k yo | d ( 3 ) ( r ) | norte , yo ⟩

Estas dos soluciones son claramente diferentes si y solo si ambas funciones de onda no se anulan en el origen. Esto quiere decir que estas dos soluciones dan resultados diferentes para las ondas s.

¿Me estoy perdiendo algo esencial aquí? ¡Cualquier entrada sería apreciada!

obviamente me perdí eso ∇ 2 ( 1 / r   ψ ) = ( ∇ 2 1 / r ) ψ + 1 / r ( ∇ 2 ψ ) + 2 ⟨ ∇ → 1 / r , ∇ → ψ ⟩ que aplicado al problema anterior introduce aún más confusión, ya que da el término adicional 2 ⟨ ∇ → 1 / r , ∇ → pag 2 ⟩ que yo (i) no sé cómo evaluar y (ii) obviamente no cancela el d contribución...
Sí, el hamiltoniano es esféricamente simétrico pero no es el hamiltoniano de hidrógeno. El potencial tiene la forma V = − C F α s r ⋅ ( 1 + ∑ k a k ( r ) ( α s 4 π ) k ) , donde el a k son funciones de r y de constantes QCD (logs de r y coeficientes de la QCD β -función). Por lo tanto, la parte radial de la función de onda no es como la del hidrógeno, pero la parte angular sigue estando dada por los armónicos esféricos, razón por la cual mantengo la función yo dependencia.

Respuestas (1)

Un paradigma vale más que cien bocanadas de bloviación.

Explota tu simetría esférica, r ^ ⋅ ∇ → = ∂ r , y ∇ → F ( r ) = r ^ ∂ r F ( r ) ; y, dado que el desafío que le preocupa es la singularidad en el origen, r = 0, también podríamos descartar todos los l > 0, que son más suaves que las ondas s , como señaló.

En tus ℏ = 1 , metro = 2 unidades, considere, por simplicidad, las ondas s del hidrógeno hamiltoniano, suficiente para ilustrar el punto,

(1) H = pag 2 − 2 / r = − 1 r 2 ∂ r ( r 2 ∂ r ) − 2 r   .
Las integraciones del espacio de Hilbert habrán terminado 4 π ∫ 0 ∞ d r   r 2     . De este modo,
(2) ∇ 2 1 r = − 4 π d ( 3 ) ( r → )   ,
que, en nuestro contexto radial, equivale a
(2') − pag 2 1 r = 1 r 2 ∂ ( r 2 ∂ 1 r ) = − d ( r ) r 2   .

El estado propio fundamental ( n = 1) es entonces

(3) ψ 0 = mi − r π / 2 ⟹ mi 0 = − 1 ,
mientras que el primer estado excitado ( n = 2) es
(4) ψ 1 = mi − r / 2 4 2 π ( 2 − r ) ⟹ mi 1 = − 1 / 4 ,
de modo que ⟨ ψ 1 | ψ 0 ⟩ = 0 , desde ∫ 0 ∞ d X   mi − X X norte = norte !     .

Resulta que

(5) 1 r   pag 2   ψ 0 = ( 2 r 2 − 1 r ) ψ 0 pag 2 ( 1 r ψ 0 ) = ( d ( r ) r 2 − 1 r ) ψ 0 .
(El segundo eqn es el eqn de Poisson apantallado -- "fotón masivo".) Por lo tanto
(5') [ pag 2 , 1 / r ] ψ 0 = ( d ( r ) r 2 − 2 r 2 ) ψ 0 .

(En general, [ pag 2 , 1 / r ] = d ( r ) r 2 + 2 r 2 ∂ r   .)

Ahora tenga en cuenta que

(6) ⟨ ψ 0 | [ pag 2 , 1 / r ] | ψ 0 ⟩ = 0 = ⟨ ψ 1 | [ pag 2 , 1 / r ] | ψ 1 ⟩ .

En consecuencia, según su primera ruta de evaluación usando hermiticidad,

(7) ⟨ ψ 0 | { pag 2 , 1 / r } | ψ 0 ⟩ = ⟨ ψ 0 | ( H + 2 / r ) 1 r + 1 r ( H + 2 / r ) | ψ 0 ⟩ = ⟨ ψ 0 | 2 r ( 2 r − 1 ) | ψ 0 ⟩ = 12
Actuar en el ket correcto, según su última intención, también produce lo mismo,
(7') ⟨ ψ 0 | ( d ( r ) r 2 − 2 r + 2 r 2 ) | ψ 0 ⟩ = 12
Nunca tuviste que cancelar el δ : no deja de saber su lugar. Será mejor que así sea, ya que la expectativa del conmutador se desvanece.

Pero este útil desvanecimiento no es realmente necesario para la consistencia. De manera más general, según su ejemplo fuera de la diagonal,

(8) ⟨ ψ 1 | { pag 2 , 1 / r } | ψ 0 ⟩ = ⟨ ψ 1 | ( − 1 4 + 2 r ) 1 r + 1 r ( − 1 + 2 r ) | ψ 0 ⟩ = 86 / 27   .
Alternativamente, simplemente actuando a la derecha, como se hizo arriba,
(8') ⟨ ψ 1 | ( d ( r ) r 2 − 2 r + 2 r 2 ) | ψ 0 ⟩ = ∫ d r mi − 3 r / 2 ( d ( r ) − 2 r + 2 ) ( 2 − r ) = 86 / 27   .

Sus dos enfoques son consistentes, después de todo. El eje es que la integración por partes implícita en la maniobra hermitiana funciona libre de términos superficiales en el origen.

Esto no es difícil de generalizar. Para potenciales singulares (a diferencia del tuyo, entiendo), es decir, con r 2 V ( r ) sin desaparecer en el origen, eche un vistazo a Khelasvili & Nadareishvili 2010 .

Muchas gracias por tu respuesta. De hecho, me acabo de dar cuenta de que mi primer enfoque no era correcto, ya que un operador que actúa sobre un sostén en realidad actúa como su conjugado hermitiano, es decir O | norte yo ⟩ → ⟨ norte yo | O † . En este caso O = pag 2 1 / r y por lo tanto O † = 1 / r pag 2 , porque ( A B ) † = B † A † . Esto resuelve el primer misterio, diciéndome que siempre obtendré el d -contribución - que por supuesto se desvanece para las ondas que no son s...
Sin embargo, todavía estoy confundido con la parte del producto escalar. 2 ⟨ ∇ → 1 / r , ∇ → pag 2 ⟩ . Porque no puedo ver en este momento cómo se debe evaluar esto.
??? Lo que escribiste aquí no tiene sentido. El gradiente actúa sobre la función de onda. Vino de pag 2 . Los evalué a ambos implícitamente para ti. En detalle, ∇ ( 1 / r ) ⋅ ∇ ψ = − ∂ r ψ / r 2 , que integras con el sujetador \psi y ten en cuenta la medida radial en la integral r. yo lo hago arriba no???
Pero sigue siendo alarmante que sienta que tiene que usar ∇ s y no r ^ ⋅ ∇ s. Para problemas radialmente simétricos, instantáneamente vas a las expresiones radiales, una variable y las medidas y expresiones radiales adecuadas: los ángulos son ficticios.
Este pestífero término cruzado parece ser un punto recurrente de confusión... También asomó su fea cabeza en 317037 . Pruebe un problema de juguete para convencerse de que si está integrando explícitamente por partes, está haciendo algo mal o de manera ineficiente.
Valor esperado de p2(1/r)+(1/r)p2p2(1/r)+(1/r)p2p^2 (1/r) + (1/r) p^2
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