¿Puede un edificio hacerse más alto por la noche?

No creo que esto suene irrazonable como una estimación en absoluto. Vamos a comprobarlo.

Uno diseña un edificio como un compromiso entre dos factores en competencia:

1. Uno necesita que todos los materiales de soporte de carga estén bien cargados levemente, trabajando en su región lineal para que no haya peligro de que sufran una deformación plástica (irreversible), arrastrándose y finalmente fallando catastróficamente;

2. Sin embargo, los miembros de soporte de carga levemente sometidos a esfuerzos significan miembros infrautilizados: si sobrediseñamos demasiado las cosas, aumentamos enormemente el costo.

Para simplificar, consideremos la resistencia a la carga de compresión del edificio frente a su propio peso: también debe soportar las tensiones de cizallamiento del viento, pero teniendo en cuenta solo el peso, obtendremos una cifra aproximada.

Los materiales típicos se comportan bajo estrés de una manera descrita por una curva con la siguiente forma:

Esta curva es una que tomé de la página de Wikipedia "Esfuerzo de compresión" .

Por lo tanto, queremos que todos los miembros que soportan la carga sufran un esfuerzo que se encuentra en la parte lineal de bajo esfuerzo de esta curva. El punto superior de la región lineal se denomina límite elástico y debemos estar muy por debajo de este, porque aquí es donde el material de soporte sufrirá una deformación plástica irreversible y, en última instancia, correrá el riesgo de fallar. Pero no queremos estar demasiado por debajo de este punto, de lo contrario, estamos agregando materiales y costos innecesariamente al edificio.

No sé qué usan los ingenieros civiles, pero un factor de una cuarta parte del límite elástico parece razonable. Para el hormigón, la curva es más lineal que la anterior hasta el punto en que el hormigón falla: lo hace cuando alcanza una compresión de unos$40{\rm MPa}$(Consulte la " Caja de herramientas de ingeniería aquí " ). En su región de trabajo lineal, su módulo de Young es$E = 30{\rm GPa}$, por lo que a una tensión de un cuarto de su fuerza ( es decir , a$10{\rm MPa}$) su deformación por compresión es

Para el acero, el acero estructural de alta resistencia tiene un límite elástico cercano a$300{\rm MPa}$y su módulo de Young es$200{\rm GPa}$. Entonces, cuando está "trabajando" a una cuarta parte de su límite elástico, tenemos:

es decir , bastante cerca del valor del hormigón. Entonces, ya sea que la carga la soporte el concreto o el acero, con la misma "utilización", es decir , la misma fracción de límite elástico, ambos materiales muestran aproximadamente la misma tensión.

Ahora, la configuración de costo óptimo es con todo el material de carga en el edificio trabajando a la misma fracción de su límite elástico . Esto significa que la resistencia a la carga disminuirá con la altura: los miembros superiores que soportan la carga solo tienen que sostener el edificio sobre ellos. Esto no es del todo correcto: para Taipei 101, por ejemplo, hay un enorme péndulo en lo alto del edificio para contrarrestar el balanceo del viento, pero la suposición de que toda la estructura está aproximadamente en el mismo estado de compresión es probablemente una buena estimación de trabajo.

Esta es entonces nuestra clave para nuestra estimación:

Toda la estructura a lo largo de toda su altura sufre una constante tensión de compresión de$\epsilon = 3.5\times10^{-4}$

50 000 personas ponen una carga de aproximadamente$5\times 10^4\times 60{\rm kg}$o alrededor de 3000 toneladas en el edificio. De aquí obtengo una estimación de 700 000 toneladas para la masa total de Taipei 101. La masa del edificio es mucho mayor que la de las personas, por lo que asumimos que con 700 000 toneladas, la tensión del edificio es$\epsilon = 3.5\times10^{-4}$. Esto significa que 3000 toneladas repartidas uniformemente por todo el edificio añaden una tensión adicional de:

Para un edificio de la altura de Taipei 101 (500 m), esto corresponde a una reducción de altura de$1.5\times 10^{-6}\times 500 = 750{\rm \mu m}=0.75{\rm mm}$.

Esto está muy cerca de su estimación. Dado que no soy ingeniero civil, es muy posible que se utilicen diferentes materiales de resistencia y que puede ser una práctica segura diseñar más cerca de la resistencia a la fluencia de lo que he supuesto. Una cifra de 1,5 mm implica una "utilización" constante de materiales a la mitad de su límite elástico: esto también suena razonable (un poco aterrador para alguien no capacitado como yo, pero aún así creíble). Probablemente también sea más barato usar materiales de mayor costo y mayor resistencia en las secciones inferiores del edificio y menor costo y menor resistencia en la parte superior, desviándose así de mi uso constante / tensión constante con la suposición de altura.

Por lo tanto, encuentro que la reducción citada es muy creíble. Definitivamente está en el estadio correcto.

El módulo de Young es la relación entre el esfuerzo de tracción y la deformación por tracción de un material:

E = (F/A)/(∆L/L) = (F * L) / (A * ∆L)

F/A es la fuerza por área y (∆L/L) es el cambio de longitud por longitud original

Para acero estructural, el módulo de Young es de 200 gigapascales. Esta cantidad se puede usar para predecir cuánto se comprimirá el acero bajo un peso dado por unidad de área.

La relación entre la altura de un rascacielos y su ancho suele ser 5/1 o 7/1. Esperaría que un rascacielos de 1300 pies estuviera cerca del extremo inferior, por lo que el lado de un piso probablemente sería 1300/5 = 260, lo que haría que la huella fuera 260 ^ 2 = 67 600 pies cuadrados. Adivinando salvajemente el área de la sección transversal de cada poste de acero y la cantidad de postes que soportan el edificio, diré que la sección transversal de acero combinada es el 5 % de la huella, o 3380 pies cuadrados = 314 metros cuadrados.

El peso de 50.000 personas es de aproximadamente 7.000.000 libras, o 31.138.000 newtons de fuerza aplicada a 314 metros cuadrados de acero, o 99.165 newtons por metro cuadrado. Sin embargo, debido a que los postes superiores soportan progresivamente menos peso que los postes inferiores, voy a decir que esto lo soporta la mitad de 1300 = 650 pies lineales, o 198 metros de acero.

Puede usar el módulo de Young para calcular la cantidad de compresión durante el día y la expansión durante la noche cuando las personas no están (ignorando el efecto de la variación de temperatura entre la noche y el día):

200 gigapascales = (31 138 000 * 198) / (314 * ∆L)

∆L = 0,103 metros = 103 milímetros, que es mucho más de 1,5 milímetros tuiteado por UberFacts. La discrepancia entre UberFacts y yo es grande. ¿Quizás debido a mis suposiciones?

Hagamos una estimación. Sea el rascacielos de 400 m de altura, cada piso de 4 m de altura, 500 personas por piso, 20 m2 por persona, 10000 m2 por piso, supongamos que el edificio es un cuadrado de 100x100 m2 en planta y que solo tiene 10 cm gruesos muros estructurales en retícula de 25x25m2. Entonces, el área de la sección transversal de las paredes estructurales es 2x5x100x0.1 m2=100 m2. Supongamos que el peso medio de una persona es de 1000 N y el módulo de elasticidad del hormigón es de 50 GPa. Así, un peso de 100 m2 x 50 GPa= 5x10^12 N contraería los muros de hormigón 400 m (suena estúpido, pero no importa). Entonces, el peso de las personas 1000 N x 50000=5x10^7 N contraería las paredes de hormigón 400 m/10^5=4 mm. Por lo que su cifra de 1,5 mm no parece descabellada. Permítanme señalar que 4 mm es una contracción adicional con respecto a la contracción bajo el peso muerto del edificio. Permítanme señalar también que la estructura real puede tener columnas estructurales, en lugar de paredes estructurales.

EDITAR: @Ernie mencionó el efecto de la expansión/contracción térmica. Parece que este efecto es mucho más importante. El coeficiente de expansión térmica del hormigón es de aproximadamente 10^(-5)/grado. C, por lo tanto, la expansión/ contracción es 400 mx 10^(-5)/grado. C = 4 mm/grado. C.