Tensor de tensión en un cubo con fuerzas cortantes

Lo más probable es que ya no necesite una respuesta. Sin embargo, me topé con el mismo tipo de inconsistencia y encontré esta publicación, por lo que este comentario podría ayudar a otros como yo. Entiendo que esta es la configuración que tiene en mente ... muy comúnmente utilizada para introducir esfuerzo cortante:

Tienes razón: por un lado, no puedes tener ninguna fuerza en una superficie libre (como las verticales en el lado izquierdo y derecho del cubo) en una configuración estacionaria; en el otro, necesita un tensor de tensión simétrico; de lo contrario, tendrá problemas con el torque de las fuerzas superficiales... de eso no hay dudas... pero de esta manera también obtiene una fuerza distinta de cero en esas superficies verticales. Buen punto, no tiene ningún sentido: estoy de acuerdo.

Bueno, hoy luché durante horas tratando de entender lo que no entendía aquí y... Vaya, me sorprendió un poco al principio, el problema está en una suposición estúpida, es decir, que lo que se muestra en la figura de arriba es REALMENTE ¿Qué sucede si tiras un cubo lateralmente desde la superficie superior y al mismo tiempo evitas que la superficie inferior se deslice sobre el suelo? El problema es que simplemente no obtendrás esa agradable deformación uniforme tipo diamante... sino algo bastante más complicado y definitivamente no uniforme. Entonces, al final, la razón de la inconsistencia que mencionas es que la "solución" en la figura no es una solución del problema mecánico.

En particular (la teoría del haz puede ayudar aquí) diría que:

1. Si considera la superficie inferior, realmente tiene que estar pegada al suelo porque el borde izquierdo se levantará y el derecho se empujará contra el suelo. La fricción lateral no es suficiente para evitar que el cubo gire: prueba con un cubo de espuma y verás...

2. La superficie inferior ejercerá un perfil de fuerza complejo con varios componentes perpendiculares al suelo (tanto positivos como negativos según la posición). ESTO equilibrará el par de la fuerza en la superficie superior si las fuerzas externas simplemente tiran de la superficie superior del cubo.

3. Obviamente, la tensión no es del todo uniforme aquí... debe haber algún tipo de flexión no trivial, en particular en la base del cubo.

4. Las superficies laterales son libres y, tienes razón, ¡tienen que ejercer una fuerza cero! Asegúrese de que la fuerza en esas caras sea cero en la solución correcta de este problema.

En resumen, una vez que pegue correctamente la parte inferior del cubo al piso, puede esperar algo más similar a lo que se ve aquí.

en lugar de en la imagen de arriba.

Es divertido que bocetos como el de arriba se usen tan ampliamente para explicar el esfuerzo cortante. Creo que es un poco arriesgado y puede generar inconsistencias y dudas (legítimas) en los estudiantes, me pregunto cuántas personas lo saben.

Debo decir que algunos textos indican la presencia de fuerzas externas verticales también en esas dos superficies laterales (entonces todo funciona y la deformación uniforme anterior es correcta)... pero más a menudo esto se pasa por alto.

Vaya, el tensor de tensión correcto para situaciones estáticas similares es simétrico, de hecho. No es difícil ver por qué: el tensor de tensión conoce la densidad de fuerzas y una asimetría destruiría el equilibrio. Ver

http://en.wikipedia.org/wiki/Stress_(mecánica)#Equilibrium_equations_and_symmetry_of_the_stress_tensor

El último párrafo de la sección anterior contiene una prueba de por qué el tensor de tensión es simétrico. Puede decir que la parte antisimétrica actuaría como un par.

En tu ejemplo, ambos$T_{xz}$y$T_{zx}$son iguales al esfuerzo cortante que denotaste$p$. En particular, no es cierto que$T\cdot n_x=0$, como escribió en el primer paso (con índices adicionales confusos), porque el tensor de tensión mide las fuerzas internas y no solo las fuerzas que agrega activamente con la mano.

Las fuerzas internas respetan la simetría entre los$x$y$z$hachas El único tensor asimétrico era uno que querías "prescribir" al sistema. Pero no puede prescribir propiedades y comportamientos arbitrarios al sistema físico: las propiedades y el comportamiento de los objetos obedecen a las leyes de la física en lugar de a sus expectativas. En particular, las leyes de la física garantizan que el esfuerzo cortante tratará cualquier par de ejes de manera simétrica.

Debes imaginar que los cuadrados en una cuadrícula atómica en el$xz$plano se deforman a rombos. Pero la curvatura rómbica existe relativamente a ambos ejes.$x,z$. Si inserta una sonda en el sólido que medirá la tensión interna, asegúrese de que obtendrá resultados totalmente idénticos cuando presione la$z=0$avión en el$x$dirección como si empujaras el$x=0$avión en el$z$dirección. El resultado de ambas cosas es cambiar el ángulo entre el (antiguo)$x=0$,$z=0$planos en el sólido. No hay diferencia.

El tensor de tensión solo es simétrico si la densidad de espín que describe la densidad del momento angular interno es cero. Para la mayoría de los materiales, este es el caso, porque no podemos alinear la mayoría de los giros de los átomos o moléculas constituyentes en la misma dirección.

Imagina el cubo que mencionaste incrustado como un subsistema de un sistema material mucho más grande. Con un tensor de tensión asimétrico, las fuerzas harán que el cubo gire en relación con el material en el que está incrustado, lo que, en la mayoría de los materiales, se evitará mediante las fuerzas de unión molecular entre las moléculas o los átomos a ambos lados de la frontera. En otras palabras, el cubo no puede girar en relación con el material justo fuera del límite. Esto se debe a la contrafuerza debido a la unión molecular y aparece como una contrafuerza en las superficies normales a la$x$-dirección.

También debe darse cuenta de que este análisis de estrés solo se aplica en el límite, ya que el tamaño del cubo se vuelve infinitesimal. De lo contrario, podemos tener fuerzas desequilibradas en las diferentes superficies, lo que solo significa que la forma del cubo se deforma con el tiempo.