Estimación del módulo de Young

Para medir el módulo de Young de una muestra rectangular de material elástico, la someto a una carga vertical a lo largo de su eje mayor utilizando pesos de importancia gradualmente creciente y mido la variación de longitud. Pero, me enfrento al siguiente dilema:

  1. Al estimar el módulo de Young utilizando la relación entre el esfuerzo de ingeniería y la deformación de ingeniería, mi mi norte gramo := PAG L 0 A 0 d L Obtengo una trayectoria para el módulo de Young que disminuye constantemente en relación con el aumento de la fuerza.
  2. Al estimar el módulo de Young utilizando la relación entre la tensión real y la deformación real, mi t r tu mi := PAG / A yo norte L L 0 Obtengo una trayectoria para el módulo de Young que aumenta constantemente en relación con el aumento de la fuerza.

Básicamente, las estimaciones mi t r tu mi y mi mi norte gramo divergen a medida que aumenta la carga. De hecho, al 10% de la *carga máxima para este material observo que mi t r tu mi mi mi norte gramo ≈ 60 . ¿Es esto algo que debo esperar?

Debo señalar que para mi t r tu mi Estimo A := W ∗ T , el área de la sección transversal (o el producto del ancho real y el espesor real), suponiendo que A ≈ W 0 ∗ L 0 L ∗ T 0 ∗ L 0 L = W 0 ∗ T 0 ∗ L 0 2 L 2 . A continuación se muestran los gráficos de la relación entre la tensión de ingeniería y la deformación de ingeniería y la tensión real frente a la deformación real, respectivamente. El módulo de Young viene dado por la pendiente de cada curva, que idealmente sería aproximadamente constante:

Módulo de Young de "ingeniería"

Módulo de Young "verdadero"

Nota: Tras una inspección más cercana, es de esperar la falta de una relación lineal para el módulo de Young 'verdadero' si consideramos cómo variaría con el tiempo la relación entre la tensión verdadera y la deformación verdadera:

Sujeto a una carga linealmente creciente, mi t r tu mi ( k ) = ( k ∗ F 0 ) / A yo o gramo ( yo k / yo 0 ) ≈ ( k ∗ F 0 ) / ( V / yo k ) yo o gramo ( yo k / yo 0 ) = k ∗ F 0 V ∗ yo k yo o gramo ( yo k / yo 0 ) dónde V y yo 0 son constantes. Claramente, esta función de k es estrictamente creciente por lo que mi t r tu mi nunca se estabiliza incluso si C = k ∗ F 0 yo k era una constante. Por otro lado, mi mi norte gramo sería constante si k ∗ F 0 yo k era una constante.

Alternativamente, si analiza la relación mi t r tu mi mi mi norte gramo . encuentras eso mi t r tu mi mi mi norte gramo ≈ k ∗ F 0 V ∗ yo k yo o gramo ( yo k / yo 0 ) ∗ A 0 ∗ yo k F 0 ∗ k ∗ yo 0 = yo k 2 yo 0 2 ∗ yo o gramo ( yo k / yo 0 ) .

El análisis anterior se mantendría igual de bien para cualquier otro material elástico con una geometría prismática.

* esto se calcula utilizando la resistencia a la tracción del material

Si tu mi depende de la carga PAG entonces ha ido más allá del dominio lineal del material (donde el módulo de Young ahora no está definido).
A menos que la relación de Poisson de su material sea igual a cero, el área real será menor que A 0 entonces el estrés será más alto de lo que calculas. Es por eso que el módulo de Young está disminuyendo con el aumento de la tensión. Hablando como no ingeniero, no tengo ni idea de dónde viene la ecuación que cita en (2) o por qué esperaría que diera una respuesta sensata.
O lo que dijo Juan...
@JohnRennie La ecuación en (2) es el verdadero estrés sobre la verdadera tensión: doitpoms.ac.uk/tlplib/thermal-expansion/young-mod-def.php
@lemon Pero, a partir del gráfico de estrés de ingeniería frente a tensión de ingeniería, no está claro que haya dejado el dominio lineal.
Según Wikipedia, el módulo de Young se define utilizando la tensión de ingeniería, en cuyo caso la desviación de una línea recta se debe presumiblemente a que no ha tenido en cuenta el cambio de área debido a una relación de Poisson distinta de cero. En realidad, su gráfico del módulo calculado usando la tensión de ingeniería me parece bastante directo.
@JohnRennie Para el módulo de Young 'verdadero', he tenido en cuenta el cambio de área. De hecho, el área de la sección transversal real disminuye como se esperaba, razón por la cual existe tal desviación de una línea recta.
@JohnRennie Agregué una comparación analítica de mi mi norte gramo y mi t r tu mi y mostrar que hay un absurdo en mi comprensión de la definición de Cambridge o que hay un problema en la definición misma.

Respuestas (3)

A ≈ W 0 ∗ L 0 L ∗ T 0 ∗ L 0 L = W 0 ∗ T 0 ∗ L 0 2 L 2

Si mi interpretación es correcta, usted está asumiendo que W ∗ L = W 0 ∗ L 0 y T ∗ L = T 0 ∗ L 0

Eso haría que el volumen: W 0 ∗ T 0 ∗ L 0 2 / L , que disminuye al estirar el material. Para una deformación pequeña, la relación de Poisson se aproximaría a 1. La relación de Poisson debería estar entre -1 y 0,5 para un material elástico lineal, isotrópico y estable. No sé cuál es el material que estás probando, pero...

A ≈ A 0 ∗ L 0 L parece más adecuado imo.

Esta es una mejor aproximación, pero si revisa la nota que agregué al final de los detalles de la pregunta, parece que el problema radica en la definición del Módulo de Young 'Verdadero'.

Los resultados que obtienes en el experimento dependen de las dimensiones de la muestra. ¿Son T y W mucho más pequeños que L? La forma de la muestra también es importante de otra manera. ¿Tiene forma de hueso de perro, con una longitud de sección media corta que se utiliza como longitud de muestra?

Si T y W son pequeños en comparación con L, entonces el área de la sección transversal utilizada para calcular la tensión real debe tener en cuenta la contracción de Poisson.

Obviamente la relación:

A ≈ W 0 L 0 L ⋅ T 0 L 0 L = W 0 T 0 L 0 2 L 2

no es correcto. Para un material con relación de Poisson aproximadamente constante, se tiene:

A ≈ W 0 T 0 [ 1 − v ( L L 0 − 1 ) ] 2

En cualquier caso, existe una confusión entre el módulo de Young tangente (pendiente de la curva tensión-deformación) y el módulo de Young secante (relación tensión-deformación):

mi t a norte = d σ d ε , mi s mi C = σ ε

Para ambos tipos de módulo de Young se puede hacer una estimación de ingeniería y una estimación real.

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