Una consulta en un paso al derivar las ecuaciones de Maxwell a partir de la acción estacionaria

Question

Una consulta en un paso al derivar las ecuaciones de Maxwell a partir de la acción estacionaria

Física
teoría de campo
cálculo tensorial
electromagnetismo
cálculo variacional

usuario161157

Al variar la acción de Maxwell, se llega a la siguiente parte

\begin{aligned} d (F^{m v} F_{m v}) & = 2 F^{m v} d F_{m v} \\ = 2 F^{m v} (\partial_{m} d A_{v} - \partial_{v} d A_{m}) \\ = 4 F^{m v} \partial_{m} d A_{v} \end{aligned}

$\begin{align} \delta \left(F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}\right) &= 2 F^{\mu \nu} \delta F_{\mu \nu} \\ &= 2 F^{\mu \nu} \left(\partial_\mu \delta A_\nu - \partial_\nu \delta A_\mu\right) \\ &= 4 F^{\mu \nu} \partial_\mu \delta A_\nu \end{align}$

Sin embargo, ¿cómo se llega realmente del penúltimo paso al último paso? Traté de escribir los índices y obtuve el doble del término en el penúltimo paso (sin el factor de 2).

KP99

F^{μ ν} \partial_{ν} δ A_{μ} = - F^{ν μ} \partial_{ν} δ A_{μ} = - F^{μ ν} \partial_{μ} δ A_{ν}

$F^{\mu\nu}\partial_{\nu}\delta A_{\mu}=-F^{\nu\mu}\partial_{\nu}\delta A_{\mu}=-F^{\mu\nu}\partial_{\mu}\delta A_{\nu}$ , desde

μ

$\mu$ y

ν

$\nu$ los índices son ficticios. Por lo tanto, los dos términos se suman en el segundo último paso y obtenemos el último paso

Respuestas (1)

Una consulta en un paso al derivar las ecuaciones de Maxwell a partir de la acción estacionaria

$F^{\mu\nu}\partial_{\nu}\delta A_{\mu}=-F^{\nu\mu}\partial_{\nu}\delta A_{\mu}=-F^{\mu\nu}\partial_{\mu}\delta A_{\nu}$ , desde $\mu$ y $\nu$ los índices son ficticios. Por lo tanto, los dos términos se suman en el segundo último paso y obtenemos el último paso

DanielC · Answer 1

Hay índices de suma ficticia en $F^{\mu\nu}\partial_{\nu}\delta A_{\mu}$ . Haz el cambio $\mu \rightarrow \nu$ y $\nu \rightarrow \mu$ . Conseguirás $F^{\nu\mu}\partial_{\mu}\delta A_{\nu}$ . Y ahora simplemente usa la antisimetría del tensor de campo de Faraday para deshacerte del signo menos.

Una consulta en un paso al derivar las ecuaciones de Maxwell a partir de la acción estacionaria

usuario161157

KP99

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DanielC

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