Derivación de Euler-Lagrange para Electrodinámica Lagrangiana [duplicado]

Para$\mathcal L = -\frac14 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$Agradecería alguna ayuda para evaluar

$$\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})}.$$

He encontrado

$$\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})} = -\frac14\frac{\partial}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})}(\partial_{\lambda}A_{\sigma} - \partial_{\sigma} A_{\lambda})(\partial_{\lambda} A_{\sigma} - \partial_{\sigma} A_{\lambda})$$

$$= -\frac14 \frac{\partial}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})} \left( 2\partial_{\lambda}A_{\sigma}-2\partial_{\lambda}A_{\sigma}\partial_{\sigma}A_{\lambda}\right)$$ $$= -\frac14 4\left(\partial_{\nu} A_{\mu} - \partial_{\mu} A_{\nu}\right) \qquad(*)$$ $$= F_{\mu\nu}$$

pero no puedo entender el paso dado para llegar a$(*)$. En mi intento, tomo la regla de la cadena para obtener

$$\frac{\partial \mathcal L}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})} = -\frac12 F_{\mu\nu} \frac{\partial(\partial_{\alpha}A_{\beta} - \partial_{\beta} A_{\lambda})}{\partial(\partial_{\mu} A_{\nu})}$$

$$= -\frac12 F_{\mu\nu}(1) - \frac12 F_{\mu\nu} \frac{\partial(\partial_{\beta}A_{\lambda})}{\partial(\partial_{\mu}A_{\nu})}$$ $$= -\frac12 F_{\mu\nu} - \frac12F_{\mu\nu}\delta_{\beta\mu} \delta_{\lambda\nu} = -\frac12 F_{\mu\nu} - \frac12 F_{\beta\lambda}$$

que parece darme casi lo que quiero, pero debo haberme topado con un error porque esta expresión ya no tiene sentido, ya que cada término debería estar indexado por$\mu,\nu$.

Así que mis 2 preguntas son: ¿cómo llegamos a$(*)$y ¿dónde salió mal mi intento?