Cálculo de la ecuación de movimiento a partir de la acción

Question

Cálculo de la ecuación de movimiento a partir de la acción

aries0152

Supongamos que mi integral de acción es

S = \int d^{4} X (\nabla \times A)^{2}

$S=\int d^4x(\nabla \times A)^2$ y

δ S

$\delta S$ da

d S = \int d^{4} X [2 (\nabla \times A) . (\nabla \times d A)]

$\delta S =\int d^4x [2(\nabla \times A).(\nabla \times \delta A)]$ quisiera calcular el coeficiente de

δ A

$\delta A$ de esta integral de acción. Pero estoy atascado. ¿Cómo puedo separar el

δ A

$\delta A$ del término como este?

Heidar

Podría ser útil usar la notación de índice

(\nabla \times A)_{i} = ϵ_{i j k} \partial_{j} A_{k}

$(\nabla\times A)_i = \epsilon_{ijk}\partial_j A_k$ e integración por partes.

Respuestas (1)

Cálculo de la ecuación de movimiento a partir de la acción

Podría ser útil usar la notación de índice $(\nabla\times A)_i = \epsilon_{ijk}\partial_j A_k$ e integración por partes.

cuchillos · Answer 1

Hagamos lo que dice Heidar y escribámoslo con índices, e identifiquemos el Lagrangiano.

L = \frac{1}{2} (\vec{\nabla} \times \vec{A})^{2} = \frac{1}{2} ϵ_{i j k} \partial_{j} A_{k} ϵ_{i yo metro} \partial_{yo} A_{metro}

$L=\frac{1}{2}(\vec{\nabla}\times \vec{A})^2 = \frac{1}{2}\epsilon_{ijk}\partial_j A_k \epsilon_{ilm}\partial_l A_m$ donde, si aún no has oído hablar de él, pretendes que hay un símbolo de suma para cada índice repetido. Entonces como no hay desnudos

A_{i}

$A_i$ sentados solos, solo

\partial_{i} A_{j}

$\partial_i A_j$ s la única parte de las ecuaciones de Lagrange que contribuirá son

\partial_{q} \frac{\partial L}{\partial (\partial_{q} A_{pag})}

$\partial_q \frac{\partial L}{\partial (\partial_q A_p)}$ que igualamos a cero siguiendo las ecuaciones. Entonces

\frac{\partial L}{\partial (\partial_{q} A_{pag})} = \frac{1}{2} (ϵ_{i j k} d_{j q} d_{k pag} ϵ_{i yo metro} \partial_{yo} A_{metro} + ϵ_{i j k} \partial_{j} A_{k} ϵ_{i yo metro} d_{yo q} d_{metro pag})

$\frac{\partial L}{\partial (\partial_q A_p)}=\frac{1}{2}(\epsilon_{ijk}\delta_{jq}\delta_{kp}\epsilon_{ilm}\partial_l A_m+\epsilon_{ijk}\partial_j A_k \epsilon_{ilm}\delta_{lq}\delta_{mp})$ usando

\frac{\partial (\partial_{i} A_{j})}{\partial (\partial_{q} A_{pag})} = d_{i q} d_{j pag} .

$\frac{\partial (\partial_i A_j)}{\partial (\partial_q A_p)}=\delta_{iq}\delta_{jp}.$ Entonces nosotros tenemos

\partial_{q} \frac{\partial L}{\partial (\partial_{q} A_{pag})} = \partial_{q} (ϵ_{i q pag} ϵ_{i j k} \partial_{i} A_{j}) = \partial_{q} ((d_{q j} d_{pag k} - d_{q k} d_{pag j}) \partial_{i} A_{j}) = \partial_{q} (\partial_{q} A_{pag} - \partial_{pag} A_{q}) = 0

$\partial_q \frac{\partial L}{\partial (\partial_q A_p)}=\partial_q(\epsilon_{iqp}\epsilon_{ijk}\partial_i A_j) = \partial_q ((\delta_{qj}\delta_{pk}-\delta_{qk}\delta_{pj})\partial_{i} A_j)=\partial_q (\partial_q A_p - \partial_p A_q)=0$ donde usé la identidad épsilon contraída y cambié los índices repetidos según los necesitaba para combinar términos. Espero que esto ayude.

EDITAR:

Bueno, igual intentaré ayudar, espero no empeorar nada.

d S = \int d^{3} X \frac{1}{2} ϵ_{i j k} ϵ_{i yo metro} d (\partial_{j} A_{k}) \partial_{yo} A_{metro} + \int d^{3} X \frac{1}{2} ϵ_{i j k} ϵ_{i yo metro} \partial_{j} A_{k} d (\partial_{yo} A_{metro})

$\delta S = \int d^3 x \frac{1}{2}\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}\delta(\partial_j A_k)\partial_l A_m+\int d^3 x\frac{1}{2}\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}\partial_j A_k \delta(\partial_l A_m)$ Ahora con las variantes

δ

$\delta$ podemos intercambiar el orden de

\partial

$\partial$ y

δ

$\delta$

d (\partial_{i} A_{j}) = \partial_{i} (d A_{k})

$\delta(\partial_i A_j)=\partial_i (\delta A_k)$ Así que con los dos términos multiplicados arriba obtenemos

\partial_{j} (d A_{k}) \partial_{yo} A_{metro} = \partial_{j} (d A_{k} \partial_{yo} A_{metro}) - d A_{k} \partial_{j} \partial_{yo} A_{metro}

$\partial_j( \delta A_k)\partial_l A_m=\partial_j (\delta A_k \partial_l A_m)-\delta A_k \partial_j \partial_l A_m$ de la regla del producto. Esto ayuda a aislar la variación del campo. Por favor (todos) háganme saber si esto todavía es confuso y/o incorrecto. Espero que esto ayude.

Lamento su $=0$ al final es extremadamente confuso porque parece que estás afirmando que la expresión anterior es idénticamente cero. Seguramente no lo es. Obviamente, en general, la contribución es proporcional a $\nabla\times B$ . Sería bastante malo si el término (espacial) de Maxwell diera cero a las ecuaciones de Maxwell. ;-) No deberías escribir es cero porque hay otros términos en las ecuaciones de otros términos en la acción, como $j\cdot A$ y $(\partial_t A)^2$ .
hmmm ... pero dado el lagrangiano de OP, ¿las ecuaciones de Lagrange no son las que escribí en la última línea? Ciertamente tienes razón si el lagrangiano es más complicado.
En realidad, tengo que estar de acuerdo con Lubos Motl porque hay otros términos en el lagrangiano principal. Ya he probado el procedimiento que has descrito. Eso causa algún problema. Entonces, uno de mis asesores me pidió que probara la integral de trayectoria, separara el coeficiente de los términos y eso podría conducir a la ecuación de movimiento que queremos.
bueno, mi error entonces, pensé que querías el EOM asumiendo que era toda la acción integral. Lo siento.

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aries0152

Heidar

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cuchillos

Motl de Luboš

cuchillos

aries0152

cuchillos

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