Confusión sobre la naturaleza matemática del tensor electromagnético y los campos E, B

¡Gran pregunta! Tuve muchas de las mismas confusiones cuando aprendí SR por primera vez.

En primer lugar,$\vec{E}$y$\vec{B}$transforme como 3-vectores ordinarios bajo rotaciones y traslaciones. Matemáticamente,$\vec{E}$y$\vec{B}$son arreglos de componentes del tensor antisimétrico$F^{\mu\nu}$. La razón por la que los profesores todavía están justificados para decirles a los novatos en electrodinámica que son "vectores" es porque, considerados como conjuntos de objetos por derecho propio, se transforman como un vector. Si desea obtener más detalles, debe consultar la teoría de grupos detrás de los tensores (una de mis favoritas es Zee). Puedo darte una breve descripción general (no sé cuánta teoría de grupos sabes, así que no asumiré ninguna. Perdóname si no es así): un grupo es un conjunto de objetos que satisface ciertas propiedades. En física, los conjuntos de transformaciones que conservan ecuaciones de movimiento (o, más propiamente, acciones) son grupos. Una forma de definir los vectores tridimensionales son los objetos que se transforman de cierta manera en una representación (una forma de representar la acción grupal abstracta con matrices que transforman un espacio vectorial) del grupo$SO(3)$, rotaciones que preservan la orientación en tres dimensiones (para estar completos, debemos incluir otras transformaciones que preservan la distancia euclidiana, pero las rotaciones son lo suficientemente buenas por ahora). En la teoría de grupos, cuando estudia estas diferentes representaciones, encontrará que algunas de ellas son isomorfas, que es solo una forma intelectual de decir efectivamente equivalente. Para$SO(3)$, la transformación de un 2-tensor antisimétrico (en el contexto de E&M, la parte espacial de$F^{\mu\nu}$) resulta ser equivalente a un vector ($SO(3)$está contenido en el grupo de Lorentz, por lo que es relevante para consideraciones en relatividad especial). Esto le permite identificar la disposición correcta de los componentes.$F^{ij}$como vector, nada menos que$\vec{B}$. En cuanto a los 4 vectores, podemos llamar a sus componentes espaciales 3 vectores porque se transforman de la misma manera bajo rotaciones. Además, para las transformaciones espaciales, los índices arriba/abajo no importan, ya que la métrica espacial tiene el mismo signo en todos sus componentes.

En cuanto a las operaciones de puntos y cruces, en realidad son solo mala notación. Significa lo que dijiste que significa, multiplicar y sumar/restar de cierta manera. Una vez más, estas operaciones se remontan a$SO(3)$y transformándose muy bien bajo rotaciones (el producto escalar se transforma como un escalar, la cruz como un vector). El problema de escribirlas en ecuaciones relativistas es que rompe la invariancia manifiesta de Lorentz. Es decir, las ecuaciones siguen siendo invariantes de Lorentz (más precisamente, covariantes, pero a quién le importa), pero están ocultas por la mala notación. Tendrías que resolver las transformaciones bajo impulsos a mano para asegurarte de que todo funcionó correctamente. Aquí es donde los 4 vectores de Minkowski son buenos, porque cuando escribes las mismas ecuaciones en términos de 4 vectores, todo lo que tienes que hacer es asegurarte de que los índices de Lorentz se alineen. Entonces, el dilema de 3 versus 4 vectores es una cuestión de notación; Los 4 vectores hacen obvia la invariancia de Lorentz, los 3 vectores la oscurecen.

Debería agregar una nota más: hay una interpretación geométrica diferencial muy profunda de todo esto que involucra formas diferenciales e independencia de coordenadas, pero creo que no es tan relevante para su pregunta inmediata. La ventaja de esto es que no hace referencia a las leyes de transformación, por lo que si no está satisfecho con "un vector se transforma como un vector", etc., puede brindar algo de claridad. (Ver Frankel )

¡Espero que esto haya ayudado!

Ambos$\vec E$y$\vec B$transformarse como 3-vectores ordinarios bajo rotaciones. Es bajo impulsos que se transforman, no como las partes espaciales de los vectores, pero ambos son 3 vectores si no se considera la relatividad especial, sino solo la simetría rotacional clásica.

Una vez que consideras la relatividad especial,$\vec E$y$\vec B$ya no son buenas cantidades, precisamente porque no se comportan bien bajo las transformaciones de Lorentz. Pero juntos , como componentes de la forma 2$F$, que se transforma como un tensor (0,2) propio bajo las transformaciones de Lorentz, son objetos "agradables" nuevamente.

En realidad, como explico en esta respuesta mía , que el campo magnético pueda considerarse como un vector es un feliz accidente de 3 dimensiones, y debería considerarse más correctamente como una forma espacial de 2 en sí misma en un marco general.

Para reconciliar la expresión de cuatro fuerzas de la fuerza de Lorentz con la fuerza de Lorentz "habitual", es decir, reconciliar su eq. (1) con la ecuación. (3), tenga en cuenta que concuerdan claramente en el marco donde la partícula está en reposo, es decir$u = (c,0,0,0)$y luego demuestre que aplicar una transformación de Lorentz a todos los objetos involucrados reproduce ambas ecuaciones.

Aquí no está sucediendo nada más allá de estas relaciones; creo que lo que lo confunde es que está tratando de hacer relatividad con objetos manifiestamente no covariantes, es decir$\vec E, \vec B$. Esto no es sorprendente: el poder de los objetos covariantes e invariantes es precisamente que no conducen a ecuaciones tan desordenadas como lo hacen los objetos no covariantes. No debe esperar asignar un significado particular a una ecuación no covariante como la ec. (5).