Una cierta amplitud de dispersión de gluones

Estoy atascado con este proceso de calcular la amplitud de dispersión a nivel de árbol de dos gluones de impulso de helicidad positiva (+), digamos$p_1$y$p_2$dispersándose en dos gluones de helicidad negativa (-) con impulso$p_3$y$p_4$.

esto es aparentemente$0$para el diagrama donde uno ve este proceso como dos amplitudes de 3 gluones con un gluón que se propaga (de digamos momento$p$) y$p_1$y$p_2$están unidos uno a cada uno de los dos 3 amplitudes de gluones. Quiero ser capaz de probar esta desaparición.

Entonces deja$p_2^+$estar con$p$y$p_3^-$y descansa sobre los otros 3 vértices de gluones.

Estoy trabajando en el formalismo despojado de color. Sean los índices de Lorentz$\rho$,$\sigma$para el gluón que se propaga. Y para los gluones externos$p_1^+$,$p_2^+$,$p_3^-$,$p_4^-$dejar$\nu, \lambda, \beta, \mu$respectivamente sus índices de Lorentz. Sean los vectores auxiliares elegidos para especificar las polarizaciones de estos gluones externos$p_4, p_4, p_1, p_1$respectivamente. Entonces, las "funciones de onda" de estos cuatro gluones se denotan como,$\epsilon^{+/-}(p,n)$dónde$p$representa su impulso y$n$su vector auxiliar y en el formalismo espinor-helicidad se escribiría,

1. $\epsilon^{+}_\mu(p,n) = \frac{<n|\gamma_\mu|p]}{\sqrt{2}<n|p>}$

2. $\epsilon^{-}_\mu(p,n) = \frac{[n|\gamma_\mu|p>}{\sqrt{2}[p|n]}$

Por lo tanto, pensaría que esta amplitud está dada por,

$\epsilon^{-}_{\mu}(p_4,p_1)\epsilon_{\nu}^{+}(p_1,p_4)\epsilon_\lambda^+(p_2,p_4)\epsilon_\beta^-(p_3,p_1)\left( \frac{ig}{\sqrt{2}} \right)^2 \times \{ \eta^{\mu \nu}(p_4-p_1)^\rho + \eta^{\nu \rho}(p_1-p)^\mu + \eta^{\rho \mu}(p - p_4)^\nu\} \left ( \frac{-i\eta_{\rho \sigma}}{p^2}\right)\{ \eta^{\lambda \beta}(p_2-p_3)^\sigma + \eta^{\beta \sigma}(p_3-p)^\lambda + \eta^{\sigma \lambda}(p - p_2)^\beta \}$

Se observa lo siguiente,

1. $\epsilon^{-}_\mu(k_1,n). \epsilon^{- \mu}(k_2,n) = \epsilon^{+}_\mu(k_1,n).\epsilon^{+\mu} (k_2,n) = 0$

2. $\epsilon^{+}_\mu(k_1,n_1).\epsilon^{-\mu}(k_2,n_2) \propto (1-\delta_{k_2 n_1})(1-\delta_{k_1,n_2})$

Usando lo anterior, se ve que en la amplitud dada, el único término que no se desvanece que queda es (hasta algunos prefactores),

$\epsilon^{-}_{\mu} (p_4,p_1) \epsilon_{\nu}^{+}(p_1,p_4) \epsilon{_\lambda}^{+}(p_2,p_4)\epsilon_{\beta}^{-}(p_3,p_1) \left\{ \eta^{\nu}_{\sigma}(p_1-p)^\mu + \eta_\sigma^\mu(p - p_4)^\nu\right\}\times \{ \eta^{\lambda \beta}(p_2-p_3)^\sigma\}$

(..el que es el producto de los dos últimos términos del factor del primer vértice (contraído con el índice del propagador) y el primer término del factor del segundo vértice..}

• ¿Por qué está este término por encima de cero? (... la única forma en que todo el diagrama puede desaparecer...)