Si la teoría clásica de Maxwell describe E&M de manera justa, ¿qué tan bien hecha está la teoría clásica de Yang-Mills para la cromodinámica?

Esto se responde muy bien en la "descripción del problema" de Jaffe-Witten del problema de la cuantización de la teoría de Yang-Mills :

En la década de 1950, cuando se descubrió la teoría de Yang-Mills, ya se sabía que la versión cuántica de la teoría de Maxwell, conocida como electrodinámica cuántica o QED, brinda una descripción extremadamente precisa de los campos y fuerzas electromagnéticos. De hecho, QED mejoró la precisión de ciertas predicciones anteriores de la teoría cuántica en varios órdenes de magnitud, además de predecir nuevas divisiones de los niveles de energía.

Por lo tanto, era natural preguntarse si la teoría de calibre no abeliana describía otras fuerzas en la naturaleza, en particular la fuerza débil (responsable, entre otras cosas, de ciertas formas de radiactividad) y la fuerza fuerte o nuclear (responsable, entre otras cosas, de la unión de protones y neutrones en núcleos). La naturaleza sin masa de las ondas clásicas de Yang-Mills fue un serio obstáculo para aplicar la teoría de Yang-Mills a las otras fuerzas, ya que las fuerzas débil y nuclear son de corto alcance y muchas de las partículas son masivas. Por lo tanto, estos fenómenos no parecen estar asociados con campos de largo alcance que describen partículas sin masa.

En las décadas de 1960 y 1970, los físicos superaron estos obstáculos para la interpretación física de la teoría de calibre no abeliana. En el caso de la fuerza débil, esto se logró mediante la teoría electrodébil de Glashow-Salam-Weinberg con el grupo de calibre H = SU (2) × U (1). Al elaborar la teoría con un "campo de Higgs" adicional, se evitaba la naturaleza sin masa de las ondas clásicas de Yang-Mills. El campo de Higgs se transforma en una representación bidimensional de HH; su valor distinto de cero y aproximadamente constante en el estado de vacío reduce el grupo de estructura de H a un subgrupo U(1) (incrustado en diagonal en SU(2)×U(1). Esta teoría describe tanto las fuerzas electromagnéticas como las débiles, en de manera más o menos unificada; debido a la reducción del grupo de estructura a U(1), los campos de largo alcance son los del electromagnetismo únicamente, de acuerdo con lo que vemos en la naturaleza.

La solución al problema de los campos de Yang-Mills sin masa para las interacciones fuertes tiene una naturaleza completamente diferente. Esa solución no vino de agregar campos a la teoría de Yang-Mills, sino de descubrir una propiedad notable de la propia teoría cuántica de Yang-Mills, es decir, de la teoría cuántica cuyo lagrangiano clásico es el lagrangiano de Yang-Mills. Esta propiedad se llama “libertad asintótica”. Aproximadamente esto significa que a distancias cortas el campo muestra un comportamiento cuántico muy similar a su comportamiento clásico; sin embargo, a largas distancias, la teoría clásica ya no es una buena guía para el comportamiento cuántico del campo.

La libertad asintótica, junto con otros descubrimientos teóricos y experimentales realizados en las décadas de 1960 y 1970, hizo posible describir la fuerza nuclear mediante una teoría de norma no abeliana en la que el grupo de norma es G=SU(3). Los campos adicionales describen, en el nivel clásico, "quarks", que son objetos de espín 1/2 algo análogos al electrón, pero que se transforman en la representación fundamental de SU(3). La teoría de calibre no abeliana de la fuerza fuerte se llama cromodinámica cuántica (QCD).

El uso de QCD para describir la fuerza fuerte estuvo motivado por toda una serie de descubrimientos experimentales y teóricos realizados en las décadas de 1960 y 1970, relacionados con las simetrías y el comportamiento de alta energía de las interacciones fuertes. Pero la teoría clásica no abeliana de gauge es muy diferente del mundo observado de las interacciones fuertes ; para que QCD describa con éxito la fuerza fuerte, debe tener a nivel cuántico las siguientes tres propiedades, cada una de las cuales es radicalmente diferente del comportamiento de la teoría clásica:

(1) Debe tener una “brecha de masa”; es decir, debe haber alguna constante Δ>0 tal que cada excitación del vacío tenga energía al menos Δ.

(2) Debe tener un "confinamiento de quarks", es decir, aunque la teoría se describe en términos de campos elementales, como los campos de quarks, que se transforman de manera no trivial bajo SU(3), los estados físicos de las partículas, como el protón, el neutrón y el pión son SU(3)-invariantes.

(3) Debe tener una "ruptura de simetría quiral", lo que significa que el vacío es potencialmente invariante (en el límite, que las masas desnudas de quarks se desvanecen) solo bajo un cierto subgrupo del grupo de simetría total que actúa sobre los campos de quarks.

El primer punto es necesario para explicar por qué la fuerza nuclear es fuerte pero de corto alcance; el segundo es necesario para explicar por qué nunca vemos quarks individuales; y el tercero es necesario para dar cuenta de la teoría del "álgebra actual" de los piones blandos que se desarrolló en la década de 1960.

Tanto el experimento, ya que QCD tiene numerosos éxitos en la confrontación con el experimento, como las simulaciones por computadora, realizadas desde finales de la década de 1970, han dado un gran impulso a que QCD tiene las propiedades citadas anteriormente. Estas propiedades se pueden ver, hasta cierto punto, en los cálculos teóricos llevados a cabo en una variedad de modelos muy simplificados (como la teoría de calibre de celosía fuertemente acoplada). Pero no se entienden completamente teóricamente; no existe un cálculo teórico convincente, ya sea matemáticamente completo o no, que demuestre cualquiera de las tres propiedades en QCD, a diferencia de un truncamiento severamente simplificado de la misma.