Descomposición de color de la amplitud del árbol de n−n−n-gluones

tengo aqui un$SU(N_c)$la teoría de Yang-Mill y dejar que el índice$i$, etiqueta el$n$-gluones, y$\{k_i, \lambda_i, a_i\}$sea ​​su momento, helicidad e índice de color y$\cal{A}_n^{tree/1-loop}(\{k_i, \lambda_i, a_i\})$sea ​​la amplitud de nivel de árbol/1 bucle para su dispersión. Entonces aparentemente se cumplen las siguientes dos ecuaciones,

• ${\cal A}_n^{tree}(\{k_i, \lambda_i, a_i\}) = g^{n-2}\sum_{\sigma \in S_n/\mathbb{Z}_n} Tr[T^{a_\sigma (1)}\ldots T^{a_\sigma (n)}] A_{n}^{tree}(\sigma(1^{\lambda_1})\ldots\sigma(n^{\lambda_n}))$

• ${\cal A}_n^{1-loop}(\{k_i, \lambda_i, a_i\}) = g^n [ \sum_{\sigma \in S_n/\mathbb{Z}_n} N_c Tr[T^{a_\sigma(1)}\ldots T^{a_\sigma(n)}] A_{n;1}^{tree}(\sigma(1^{\lambda_1})\ldots\sigma(n^{\lambda_n})) +$ $\sum _ {c=2} ^{[\frac{n}{2}] +1} Tr[T^{a_\sigma (1)}\ldots T^{a_\sigma(c-1)}] Tr[T^{a_\sigma (c)}\ldots T^{a_\sigma(n)}] A_{n;c}^{tree}(\sigma(1^{\lambda_1})\ldots\sigma(n^{\lambda_n}))]$

Quiero saber la prueba de las dos ecuaciones anteriores.

Parece que esta nota de clase intenta esbozar algún argumento para la primera de las dos expresiones anteriores, pero no es muy claro.

• Pensé que no había visto esto claramente escrito en ninguna parte, pero supongo que los factores de$A_n^{tree}$y$A_{n;1}$y$A_{n;c}$que ocurren en el RHS de las dos ecuaciones anteriores son lo que se denominan "amplitudes ordenadas por color" . Sería genial si alguien puede decir algo sobre esta idea también. (... planeo hacer otra pregunta por separado más adelante centrándome en ese aspecto...)

{... ¡mi LaTeX parece todo confuso! Sería genial si alguien pudiera editar eso y poner una línea sobre lo que salió mal...}