Feynman gobierna con estados de helicidad.

El argumento para la primera pregunta es el siguiente:

Considere el vector de Pauli-Lubanski$W_{\mu} = \epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}P^{\nu}M^{\rho\sigma}$. Dónde$P^{\mu}$son los momentos y$M^{\mu\nu}$son los generadores de Lorentz. (La norma de este vector es un casimiro del grupo de Poincaré, pero este hecho no será necesario para el argumento).

Por consideraciones de simetría tenemos$W_{\mu} P^{\mu} = 0$. Ahora, en el caso de una partícula sin masa, un vector ortogonal a un vector similar a la luz debe ser proporcional a ella (ejercicio fácil). De este modo$W^{\mu} = h P^{\mu}$, ($h = const.$). Ahora, la componente cero del vector de Pauli-Lubanski viene dada por:

$W_{0} = \epsilon_{0\nu\rho\sigma}P^{\mu}M^{\mu\nu} = \epsilon_{abc}P^{a}M^{bc} = \mathbf{P}.\mathbf{J}$, (donde la suma después de la segunda igualdad es solo en los índices espaciales, y$\mathbf{J}$son los generadores de rotación).

Por lo tanto, la constante de proporcionalidad$h = \frac{W^{0}}{P^{0}}= \frac{\mathbf{P}.\mathbf{J}}{|\mathbf{P}|}$es la helicidad.

Ahora, en el nivel cuántico, si rotamos un ángulo de$2 \pi$alrededor del eje de cantidad de movimiento, la función de onda adquiere una fase de:$exp(2 \pi i\frac{\mathbf{P}}{|\mathbf{P}|}.\mathbf{J}) = exp(2 \pi i h)$. Este factor debe ser$\pm 1$de acuerdo con las estadísticas de partículas por lo tanto$h$debe ser medio entero.

En cuanto a la segunda pregunta, un método muy poderoso para construir las amplitudes de los gluones es el enfoque del twistor. Consulte el siguiente artículo de NP Nair para obtener una exposición clara.

Actualizar:

Esta actualización se refiere a las preguntas formuladas por el usuario 6818 en los comentarios:

Para simplificar, consideraré el caso de un fotón y no de gluones.

La estrategia de la solución se basa en la construcción explícita del momento angular y el espín de un campo de fotones libres (que dependen de los vectores de polarización) y muestra que las relaciones anteriores se cumplen para el campo de fotones. El momento del fotón y las densidades del momento angular se pueden obtener mediante el teorema de Noether a partir del Lagrangiano del fotón. Alternativamente, es bien sabido que el momento lineal del fotón viene dado por el vector de Poynting (proporcional a)$\vec{E}\times\vec{B}$, y no es difícil convencerse de que la densidad de momento angular total es (proporcional a)$\vec{x}\times \vec{E}\times\vec{B}$.

Ahora, el momento angular total se puede descomponer en momentos angulares y angulares de espín (consulte KT Hecht: mecánica cuántica (página 584 ecuación 16))

$\vec{J} = \int d^3x (\vec{x}\times \vec{E}\times\vec{B}) =\int d^3x (\vec{E}\times\vec{A} + \sum_{i=1}^3 E_j \vec{x} \times \vec{\nabla} A_j )$

El primer término del lado derecho se puede interpretar como el giro y el segundo como el momento angular orbital, ya que es proporcional a la posición.

Ahora, ni el espín ni las densidades del momento angular orbital son invariantes de calibre (solo su suma lo es). Pero, se puede argumentar que el momento angular orbital total es cero porque la posición promedia cero, por lo tanto, el giro total:

$\vec{S} =\int d^3x (\vec{E}\times\vec{A})$

es calibre invariante:

Ahora, podemos observar que en la cuantización canónica:$[A_j, E_k] = i \delta_{jk}$, obtenemos$[S_j, S_k] = 2i \epsilon_{jkl} S_l$. Cuáles son las relaciones de conmutación del momento angular aparte del factor 2.

Ahora, reemplazando la solución de onda plana:

$A_k = \sum_{k,m=1,2} a_{km} \vec{\epsilon_m}(k) exp(i(\vec{k}.\vec{x}-|k|t)) +h.c.$

(La condición$\vec{\epsilon_m}(k).\vec{k} = 0$, es sólo una consecuencia de la desaparición de las fuentes).

Obtenemos:

$\vec{S} = \sum_{k,m=1,2}(-1){m} a^\dagger_{km}a_{km} \hat{k} = \sum_{k}(n_1-n_2)\hat{k}$

(dónde$n_1$,$n_2$son los números de fotones polarizados circularmente a la derecha y a la izquierda). Por lo tanto, para un solo fotón libre, el giro total, por lo tanto, el momento angular total se alinean a lo largo o en oposición al momento, que es el mismo resultado establecido en la primera parte de la respuesta.

En segundo lugar, los operadores de espín total de fotones existen y se transforman (hasta un factor de dos) como operadores de momento angular de espín 1/2.

Cada vez que se establecen las reglas de Feynman, nunca se mencionan las helicidades; esto me parece muy confuso. ¿Cómo se introduce y explica eso?

En QFT puede representar el estado de un quanta de calibre por su impulso y helicidad. También puede hacerlo de forma dependiente del calibre especificando el impulso y un vector de polarización$\epsilon_\mu(p)$. esto es nulo$\epsilon(p)^2 = 0$y está sujeto a una equivalencia de calibre$\epsilon_\mu(p) \sim \epsilon_\mu(p) + p_\mu$. Cuando calcula una amplitud de dispersión usando las reglas de Feynman, la forma en que describe los estados de las partículas externas es usando vectores de polarización. Este es material de libro de texto estándar, así que no veo qué te confunde.

¿Existe un argumento intuitivo / simple de por qué las partículas sin masa deberían tener "helicidades" (y no polarizaciones) y solo pueden tener la forma ± algún número entero positivo? (... he visto algunos argumentos muy detallados que dependen de la teoría de la representación para el pequeño grupo de partículas sin masa y varias otras consideraciones topológicas; aquí estoy buscando una explicación "rápida" para eso...)

Matemáticamente, las partículas están en correspondencia con representaciones irreducibles del grupo de Lorentz. La teoría de la representación del grupo de Lorentz es un poco delicada porque no es compacta. Pero la falta de compacidad es fácil de entender físicamente: se debe a que uno puede aumentar en una cantidad arbitraria. Así que olvidémonos de los impulsos y miremos solo las transformaciones de Lorentz que preservan la dirección del impulso. Debería poder demostrar que estas transformaciones forman un$SO(2) \simeq U(1)$subgrupo. Actúan sobre los estados multiplicándolos por una fase. El cargo bajo este$U(1)$grupo es sólo la helicidad.

¿Hay alguna razón por la que las amplitudes de dispersión de gluones polarizados a nivel de árbol puedan escribirse "obviamente" de alguna manera?

¿Qué quieres decir con obviamente? Es fácil escribirlo a nivel de árbol, es un ejercicio típico de QFT en el uso de las reglas de Feynman. Y por cierto, me parece que la fórmula que escribiste no puede ser correcta ya que rompe la invariancia del indicador. Debe ser invariante bajo$\epsilon_\mu(p) \sim \epsilon_\mu(p) + p_\mu$.