Introducción a las estructuras de Bourbaki y su relación con la teoría de categorías

Cuando comenzó Bourbaki, en la década de 1930, no había una "teoría de categorías", por un lado. Uno de los temas que el grupo estaba abordando era la falta de textos "modernos" (no solo en francés), y varios problemas de rigor en algunas fuentes existentes. En retrospectiva, su noción de "estructura" no fue un gran éxito, y ellos mismos no la usaron realmente en volúmenes posteriores.

No era una idea del todo frívola, en la medida en que se puede observar la dinámica de las interacciones de "diferentes" nociones fundamentales ("algebraicas" y "topológicas", etc.). Sin embargo, en retrospectiva, el grupo de Bourbaki fue ingenuo sobre los fundamentos y la filosofía. -de-matemáticas, sin importar sus grandes fortalezas en matemáticas per se. Incluso su actitud sobre el análisis parece sesgada. Por ejemplo, ¿dónde está el volumen PDE? :)

El libro de Leo Corry "Álgebra moderna y el surgimiento de estructuras matemáticas" incluye una discusión de las "estructuras" de Bourbaki y hace comparaciones tanto con la teoría de categorías como con algunas otras nociones tempranas en competencia.

Pero, entre otras conclusiones, se puede ignorar la noción de "estructura" de Bourbaki en términos de la práctica de las matemáticas, o incluso para la lectura de Bourbaki (!).

Editar: también, creo que deberíamos distinguir los intentos / concepciones "fundacionales" de los "organizativos", aunque un enfoque puede incluir ambos. No parece que la teoría de conjuntos haya tratado alguna vez de proporcionar principios organizativos para las matemáticas, solo cuestiones fundamentales (e interesantes por sí mismas). Por el contrario, la teoría de categorías siempre ha sido mucho más organizativa que fundacional (a pesar del trabajo de Lawvere y muchos otros más recientemente). Según mi percepción, las "estructuras" de Bourbaki tenían más una intención organizativa que fundacional, aunque podría decirse que cualquier "economía" de conceptos debería aligerar las cargas fundacionales.

He visto un poco de la definición de estructura de Bourbaki. El grupo de Bourbaki define la estructura más o menos como una colección de conjuntos con funciones y relaciones entre ellos. Toman como ejemplo un espacio topológico que es un conjunto junto con algún subconjunto de su conjunto potencia. Las estructuras de Bourbaki son cualquier cosa que se pueda definir de esta manera, como grupos, etc.

La teoría de categorías estudia clases de objetos y sus morfismos. Intenta clasificar construcciones en base a propiedades abstractas de morfismos y diagramas. Por ejemplo, en categoría tenemos una descripción de un producto sin usar nunca "elementos", y esta definición de producto se aplica a todas las categorías; si un producto realmente existe o no es otra cuestión. A veces lo hace, ya veces no.

La teoría de categorías no nos brinda una forma obvia de construir estructuras familiares como grupos en primer lugar, aunque hay matemáticas interesantes detrás de cuán lejos se puede llegar solo con el concepto de categoría.

Sugiero olvidar a Bourbaki por completo a menos que (a) necesite un resultado específico o (b) esté interesado en tratamientos históricos. Dado que Bourbaki cubrió mucho, lo que debe elegir depende de lo que quiera aprender. Si está interesado en la teoría de categorías, siga leyendo Mac Lane o pruebe el libro de Awodey.

Por otro lado, si te interesa analizar las matemáticas desde sus modelos y estructura, prueba la teoría de modelos. Es una rama de la lógica que estudia los tipos de modelos que pueden ocurrir para un conjunto dado de axiomas y cómo difieren esos modelos, tanto desde una perspectiva de primer orden (es decir, qué puedes distinguir solo por oraciones de primer orden) como desde fuera. perspectiva (¿son isomorfos?). El libro de David Marker sobre teoría de modelos es una buena introducción.

Si solo está interesado en estructuras específicas como grupos, anillos, etc., lea algo de álgebra abstracta. Debe tener una buena familiaridad con el álgebra abstracta, lo que le ayudará a comprender por qué la teoría de categorías es tan importante. Dependiendo de cuánto sepas de álgebra, podría interesarte elegir un libro introductorio como el de Rotman sobre álgebra homológica. También puedes mirar el libro de Weibel sobre Álgebra Homológica, que es mi favorito, aunque es más avanzado.

La mayoría de los libros de texto de álgebra para graduados introducen una teoría de categorías realmente básica y la usan en álgebra. El Álgebra Básica 2 de Jacobson es bastante bueno e incluye varias definiciones de diagramas.

Mi opinión sobre esto es que la teoría de categorías es una teoría matemática bien definida con un pequeño conjunto de definiciones y axiomas específicamente para describir y probar cosas para categorías, con muchos ejemplos de estos teoremas aplicables a todas las matemáticas.

Por otro lado, la escuela Bourbaki realmente proporciona un -enfoque- a todas las matemáticas que es muy formal. Es más un enfoque, una forma general de presentación que cualquier otra cosa. No existe la 'teoría' de Bourbaki (colección de teoremas). El enfoque de Bourbaki es un intento de presentar las matemáticas tradicionales de una manera particular.

Entonces, con el enfoque de Bourbaki, obtendrá una especie de cultura de hacer matemáticas, pero con la teoría de categorías obtendrá teoremas específicos de categorías (que tienen su aplicación en otros campos específicos de las matemáticas).