Buscando la guía del estudiante para perseguir diagramas

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Buscando la guía del estudiante para perseguir diagramas

Matemáticas
pregunta suave
teoría de categorías
persiguiendo diagramas
solicitud de referencia

kjo

Me estoy enseñando algo de teoría de categorías y me doy cuenta de que soy muy lento con la persecución de diagramas. A veces me toma mucho tiempo decidir si agregar una flecha a un diagrama conserva la conmutatividad del diagrama, o si existe una flecha dada, o si es única, o si dos flechas opuestas son en realidad inversas entre sí, etc. Por el contrario, más de una vez me han conducido a un callejón sin salida como resultado de un razonamiento de diagrama descuidado.

Estoy buscando una "guía del estudiante para la búsqueda de diagramas", o el equivalente. Es decir, una colección de consejos, reglas generales, pros y contras, etc., dirigida a los novatos. Por ejemplo, reglas como: "cualquiera de los dos diagramas de desplazamiento se pueden pegar a lo largo de un borde común".

Si por casualidad conoces una guía de este tipo $^{1}$ , por favor hágamelo saber.

¡Gracias!

$^{1}$ IOW, por favor no lo busques en Google por mí. Ya lo hice y no encontré nada que se ajuste a la descripción dada anteriormente. Mi única esperanza es que esa guía exista como un apéndice de un libro, o tal vez algunas notas de clase inéditas.

ACTUALIZAR

Pensé que algunos lectores encontrarán este cuento con moraleja instructivo.

Mientras trabajaba en un ejercicio de empujar flechas/perseguir diagramas, dibujé este diagrama

Aspecto inocente, pero equivocado.

(FWIW, todos estos diagramas están en el buen conjunto antiguo ).

Aquí, $U\;\Pi_{\gamma,\delta}\;V$ es la relación binaria

{(tu, v) | γ (tu) = d (v)} \subseteq tu \times V = tu Π V,

$\{(u, v) | \gamma(u) = \delta(v) \} \subseteq U \times V = U \;\Pi\; V,$

y $\rho_U, \rho_V$ son dados por $\rho_U((u, v)) = u, \rho_V((u, v)) = v$ . Los mapas $\pi_U, \pi_V$ , por supuesto, son las proyecciones canónicas del producto $U \;\Pi\; V$ . (Las flechas de dos puntas denotan epimorfismos y las flechas de "cola", como la de $\delta$ , denotan monomorfismos.)

El diagrama parecía lo suficientemente inocente al principio: nada más que el retroceso categórico habitual (que aquí estoy llamando $U\;\Pi_{\gamma,\delta}\;V$ , para sugerir un "producto con fibra"):

El retroceso categórico habitual

... convenientemente equipado con su inclusión $\iota_{\gamma,\delta}$ en el producto categórico habitual:

Inclusión en el producto categórico habitual

No hace falta decir que pronto comencé a derivar (desde el primer diagrama de arriba) algunas conclusiones obviamente sin sentido, como " $\delta$ es monic $\Rightarrow \pi_U$ es monic $\Rightarrow U\;\Pi\; V \cong U$ ".

Me tomó mucho tiempo darme cuenta de que la fuente de los errores estaba tratando incorrectamente este subdiagrama como conmutativo:

¡Esto está muy mal!

Por supuesto, salvo casos especiales (p. ej. $V \cong W \cong \mathbf{1}$ , el singleton), este último diagrama es incorrecto.

Estoy seguro de que hay una moraleja en esta historia (aparte de "Los diagramas son más complicados de lo que parecen" y "¡No seas estúpido!"), pero aún no lo he descubierto.

D Izquierda Adyacente a U

No existe una guía definitiva para las pruebas de búsqueda de diagramas. Tal vez deberías escribir uno :)

Respuestas (4)

Buscando la guía del estudiante para perseguir diagramas

No existe una guía definitiva para las pruebas de búsqueda de diagramas. Tal vez deberías escribir uno :)

Matemago1234 · Answer 1

Parte del problema es que muchos matemáticos a los que les gustan mucho las construcciones categóricas y el pensamiento piensan que la mayor parte es simplemente obvia si miras los diagramas, simplemente sigue las flechas, dicen. Creo que la mayoría de los principiantes no estarían de acuerdo, pero por alguna razón nunca penetra.

Para construcciones relativamente simples, como triángulos y cuadrados conmutativos, es fácil decir que es obvio, ya que puede volver a expresarlos en términos de buenos argumentos funcionales a la antigua (escriba las composiciones explícitamente). Pero en el mundo real, no puedes llegar muy lejos con esta maquinaria si no puedes leer diagramas mucho más complicados. Incluso la demostración del Lema de la Serpiente en álgebra homológica, que confunde a muchos estudiantes de posgrado, es cosa de niños en comparación con algunos de los diagramas que verás en otras áreas de este tema. Incluyendo una serie de persecuciones de flechas tridimensionales.

Así que estoy de acuerdo: existe la necesidad de una fuente de buenas prácticas sobre este material para principiantes. Hasta que alguien escriba uno, deberá investigar un poco y armar una fuente de mosaico. El Álgebra: Capítulo 0 de Paulo Aluffi tiene probablemente la mejor introducción a la búsqueda de diagramas y su relación con las categorías que existe actualmente. Realmente está diseñado como una presentación para principiantes completos: hace un muy buen trabajo y tiene muchos buenos ejercicios para practicar. Una introducción más general e igualmente útil se puede encontrar en Introducción a la teoría de categorías de Harold Simmons . Otras 2 fuentes menos completas pero igualmente útiles son el capítulo 4 del Álgebra abstracta básica de Ash , que está disponible en línea en el sitio web de Ash y las páginas 43-53 del libro de PM Cohn.Una introducción a la teoría del anillo . Creo que encontrará todas estas fuentes útiles.

"... es cosa de bebés en comparación con los diagramas que verás en la teoría de categorías superiores..." En realidad, hay muy poca persecución de diagramas en la teoría de categorías superiores. Esto surge más a menudo (pero aún no tan a menudo como parece esta pregunta o esta respuesta) en álgebra homológica y algunas cosas con categorías trianguladas. Por ejemplo, creo que probablemente el diagrama más grande escrito en toda la Teoría de Topos Superiores involucra como máximo 6 a 8 objetos, la mayoría involucra 4.
@Dylan Ok, es justo, no sé mucho sobre la teoría de categorías superiores. Edité la declaración en consecuencia.

Zhen Lin · Answer 2

Bueno, el primer problema es que no existen convenciones estrictas sobre el uso y significado de los diagramas. Aunque existe una definición formal: un diagrama de objetos y flechas en una categoría $\mathbf{C}$ es un funtor $\mathscr{F} \colon \mathbf{J} \to \mathbf{C}$ , para alguna (pequeña) categoría de indexación $\mathbf{J}$ — en la práctica, un diagrama impreso, sin comentarios aclaratorios, puede no ser suficiente para determinar qué $\mathbf{J}$ es. Por ejemplo, considere el diagrama de ecualizador tradicional:

∙ \to ∙ ⇉ ∙

$\bullet \rightarrow \bullet \rightrightarrows \bullet$ Es 'obvio' que las dos flechas paralelas no son iguales. Así que esta es una excepción a la regla habitual de que todos los caminos a través de un diagrama entre un par de vértices deben ser iguales. Sin embargo, es precisamente esta convención la que está en vigor cuando es "obvio" que las flechas compuestas son iguales. Pero yo divago.

Es cierto que al pegar dos diagramas conmutativos a lo largo de un par de caminos correspondientes se obtiene un diagrama conmutativo. Esto es esencialmente por una deformación discreta de caminos. Por ejemplo, considere los siguientes diagramas:

\begin{matrix} ∙ & \overset{F}{\to} & ∙ \\ gramo ↓ & ↓ h \\ ∙ & \to_{k}^{} & ∙ \end{matrix} \begin{matrix} ∙ & \overset{F^{'}}{\to} & ∙ \\ {gramo}^{'} ↓ & ↓ h^{'} \\ ∙ & \to_{k^{'}}^{} & ∙ \end{matrix}

$\require{AMScd} \begin{CD} \bullet @>{f}>> \bullet \\ @V{g}VV @VV{h}V \\ \bullet @>>{k}> \bullet \end{CD} \qquad \begin{CD} \bullet @>{f'}>> \bullet \\ @V{g'}VV @VV{h'}V \\ \bullet @>>{k'}> \bullet \end{CD}$ Suponer

h = g^{'}

$h = g'$ . Para verificar que el diagrama

\begin{matrix} ∙ & \overset{F}{\to} & ∙ & \overset{F^{'}}{\to} & ∙ \\ gramo ↓ & {gramo}^{'} ↓ h & ↓ h^{'} \\ ∙ & \to_{k}^{} & ∙ & \to_{k^{'}}^{} & ∙ \end{matrix}

$\require{AMScd} \begin{CD} \bullet @>{f}>> \bullet @>{f'}>> \bullet \\ @V{g}VV @V{g'}V{h}V @VV{h'}V \\ \bullet @>>{k}> \bullet @>>{k'}> \bullet \end{CD}$ también viaja al trabajo, necesitamos demostrar que los tres caminos entre las esquinas superior izquierda e inferior derecha son iguales. Pero esto es obvio, ya que

k^{'} \circ k \circ g = k^{'} \circ h \circ f = k^{'} \circ g^{'} \circ f = h^{'} \circ f^{'} \circ f

$k' \circ k \circ g = k' \circ h \circ f = k' \circ g' \circ f = h' \circ f' \circ f$ .

La operación problemática es agregar nuevas flechas, ya que la conmutatividad no es una propiedad local. Pero es posible hacer la vida un poco más fácil, al observar que podemos subdividir el diagrama en fragmentos, agregar la flecha en cada fragmento y verificar la conmutatividad, luego pegar los fragmentos nuevamente.

En cuanto a la existencia y la unicidad: las únicas flechas que se garantiza que existen son las que se obtienen componiendo flechas. Cualquier cosa más que eso requiere un conocimiento específico de los objetos y flechas en cuestión.

jaska · Answer 3

Creo que la persecución de diagramas no es más que usar homomorfismo inyectivo y sobreyectivo y secuencias exactas. Si los aprende bien, puede encontrarlos en diagramas. Intenta reducir diagramas a diagramas más simples, morfismos o lemas previamente probados.

Definición perdida · Answer 4

Solo para agregar algunos libros a las respuestas: Simmons, Introducción a la teoría de categorías , y Riehl, Teoría de categorías en contexto . Estos libros tienen secciones específicas sobre el " arte de la persecución de diagramas " (nombre de la sección en Riehl). En especial, hay lemas útiles en Riehls que ayudan mucho a pensar lo que está pasando. Por ejemplo la que dice que si tenemos dos caminos de secuencias componibles de morfismos con dominio común y codominio, entonces si el codominio o el dominio son respectivamente objetos iniciales o finales entonces los caminos son iguales.

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