Un problema de densidad uno para ecuaciones diofánticas

No sé mucho sobre ninguna teoría detrás de esto, pero para mí parece un simple conteo.

El número de cuadrados menor o igual que$n$es$O(n^{1/2})$. (De hecho, se calcula fácilmente como$\lfloor\sqrt{n}\rfloor$.) De manera similar, el número de cuartas potencias en el mismo intervalo es$O(n^{1/4})$y el número de sextas potencias en el mismo intervalo son$O(n^{1/6})$. Ahora, forma todas las sumas de cualquier cuadrado, cualquier cuarta potencia y cualquier sexta potencia en ese conjunto. El número de esas sumas es como máximo $O(n^{1/2})O(n^{1/4})O(n^{1/6})=O(n^{1/2+1/4+1/6})$(¡puede haber repeticiones!) y así el número de esas sumas menos que igual que$n$(que está limitado desde arriba por el número anterior, y puede ser incluso más pequeño si algunas de las sumas terminan siendo más grandes que$n$) es también$O(n^{1/2+1/4+1/6})=o(n^1)=o(n)$, porque$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}<1$.

Como la densidad se define como el límite de la fracción de$\{1,2,\ldots, n\}$perteneciente al conjunto, cuando$n\to\infty$, tenemos que la densidad aquí es$\lim_{n\to\infty}\frac{o(n)}{n}=0$.