Si C2C2C_2 es ​​irracional, ¿entonces hay infinitos números primos gemelos?

Este es un seguimiento natural después de la pregunta 3629282 .

Es trivial que la irracionalidad de la constante de Brun B 2 ≈ 1.90216 implica que hay infinitos primos gemelos:

(1) B 2  es irracional    ⇒    la conjetura de los primos gemelos es cierta.

Curiosamente, esta respuesta (ahora eliminada) afirmó que algo similar también es aplicable a la constante prima gemela C 2 : si podemos probar la irracionalidad de la constante prima gemela

C 2 = ∏ pag > 2 ( 1 − 1 ( pag − 1 ) 2 ) = 0.66016 … (producto de todos los primos impares  pag )
¡¿entonces necesariamente hay infinitos números primos gemelos?!

Sin embargo, la implicación

(2) C 2  es irracional    ⇒    la conjetura de los primos gemelos es cierta (?)
no es del todo obvio para mí. Por decirlo suavemente, ( 2 ) es mucho menos obvio que ( 1 ) para la constante de Brun B 2 .

¿Podría alguien esbozar el razonamiento detrás de ( 2 ) si ves como se puede hacer?

Es C 2 un producto solo sobre primos gemelos ? Si es así, entonces si solo hay una cantidad finita, esa expresión es obviamente racional. Por lo tanto, si por alguna magia pudiéramos probar que la expresión es irracional, entonces debe haber infinitos primos gemelos. (Pero esa constante posiblemente podría ser racional incluso si hay infinitos números primos gemelos... por lo que no hay una equivalencia clara...)
Pablo, C 2 es un producto de todos los primos impares.
Ah, gracias por la aclaración. Entonces, como en la respuesta de @Joriki, no conozco ninguna conexión entre la infinitud de los primos gemelos y cualquier característica de C 2 .

Respuestas (1)

No creo que eso sea cierto. Esta constante simplemente refleja la densidad asintótica conjeturada de los números primos gemelos. Si esa conjetura es cierta, hay infinitos primos gemelos, independientemente de si la constante es racional. Y si la conjetura es falsa, esta constante no tiene nada que ver con los primos gemelos. Así que no veo por qué debería haber una conexión entre la irracionalidad de esta constante y la infinitud de los números primos gemelos.

¡Sí exactamente! Si bien es totalmente razonable que las dos declaraciones en (2) pueden ser verdaderas de forma independiente (es decir, C 2 bien puede ser irracional Y bien puede haber infinitos gemelos), sin embargo, parece demasiado difícil (casi imposible) conectarlos lógicamente, para formar una implicación rigurosa (2).
Si C2C2C_2 es ​​irracional, ¿entonces hay infinitos números primos gemelos?
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