Una explicación de la importancia de las fórmulas analíticas que representan funciones aritméticas relacionadas con las equivalencias de la hipótesis de Riemann

Ver libros sobre la función zeta de Riemann donde se explica todo. El núcleo de las fórmulas explícitas para$\sum_{n \le x} a_n$dónde$a_n$es multiplicativo o aditivo es la transformada inversa de Mellin y el teorema del residuo aplicado a$F(s) = \sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s}= s \int_1^\infty (\sum_{n \le x} a_n) x^{-s-1}dx$se supone que tiene una continuación meromórfica de todo el plano complejo, de lo contrario solo obtenemos declaraciones más débiles (estimaciones asintóticas). Vea ese tipo de preguntas y aquellas que discuten la prueba del teorema de los números primos.

La hipótesis de Riemann está codificada en funciones muy complicadas$\frac{1}{\zeta(s)}, \log \zeta(s), \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}$y en las funciones aritméticas correspondientes$\mu(n), \frac{\Lambda(n)}{\log n},\Lambda(n)$. Lamentablemente solo tenemos acceso a$\zeta(s)$una función muy simple definida en términos de los números enteros.

La hipótesis de Riemann es difícil porque falla prácticamente en cualquier pequeña modificación que pueda hacer para$\zeta(s)$(Función zeta de Hurwitz, combinaciones lineales de funciones L de Dirichlet...) es por eso que la interpretación espectral de la hipótesis de Riemann es una buena idea: pensar en (la parte imaginaria de) ceros no triviales como valores propios de algunos lineales autoadjuntos ilimitados operadores, cuyas pequeñas modificaciones dan un operador no autoadjunto al que no se aplica el teorema espectral.

Deseo responder la pregunta específica de user243301:

¿Hay algún propósito general en el intento de encontrar fórmulas analíticas para funciones aritméticas específicas que aparecen en equivalencias a la Hipótesis de Riemann? ¿El razonamiento es que tales representaciones analíticas deberían resolver la Hipótesis de Riemann, o nos proporcionarán información valiosa sobre la Hipótesis de Riemann? ¿Para qué funciones aritméticas debería ser interesante encontrar tal representación analítica? ......etc.

Mi respuesta sugerida : (a) He encontrado que la función que captura las propiedades de la función zeta,$\zeta(s)$, requerida para probar la Hipótesis de Riemann, es la función$F(s)= \zeta(2s) / \zeta(s)$. Esta función F(s) tiene la propiedad de que todos los ceros no triviales de$\zeta(s)$aparecen como polos en F(s). Por lo tanto, lo que se necesita probar (la Hipótesis de Riemann) es que todos los polos de F(s) se encuentran en la línea crítica.

(b) La función aritmética más importante es la función de Liouville$\lambda(n)$, que se define como$\lambda(n) = +1$, si n tiene un número par de factores primos y$\lambda(n) =-1$si n tiene un número impar de factores primos. Resulta que$F(s)=\Sigma \frac{\lambda(n)}{n^s}$. Para probar que F(s) solo tiene polos en la línea crítica, es necesario examinar cuidadosamente las propiedades de factorización de los números enteros. Resulta que el$\lambda(n)$se comportan como "lanzamientos de moneda" y es este comportamiento de la función de Liouville el que hace que todos los polos de$F(s)$se encuentran en la línea crítica. Para obtener más información, consulte las citas a continuación.

Todas las tareas indicadas en (a) y (b) anteriores se han realizado en: Arxiv: https://arxiv.org/pdf/1609.06971v9.pdf

y he escrito un "mapa de ruta" del artículo en: https://www.researchgate.net/publication/318283850_A_Road_Map_of_the_Paper_on_Coin_Tosses_and_the_Proof_of_the_of_the_Riemann_Hypothesis

K. Eswaran