Construcción de progresiones aritméticas

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Construcción de progresiones aritméticas

Matemáticas
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eugenio

Se sabe que en la secuencia de números primos existen progresiones aritméticas de números primos de longitud arbitraria. Así lo demostraron Ben Green y Terence Tao en 2006 . Sin embargo, la prueba dada es no constructiva.

Sé que el siguiente teorema de Burton da algunos criterios sobre qué tan grande debe ser la diferencia común.

Dejar $n > 2$ . Si todos los términos de la progresión aritmética
$pag, pag + d, \dots, pag + (norte - 1) d$ $p, p+d, \ldots, p+(n-1)d$ son números primos entonces la diferencia común $d$ es divisible por todos los primos $q <n$ .

Entonces, por ejemplo, si desea una secuencia de números primos en progresión aritmética de longitud $5$ es decir

pag, pag + d, \dots, pag + 4 d

$p, p+d, \ldots, p+4d$ usted necesita que

d \geq 6

$d \geq 6$ . Usando esto podemos obtener que el primo

p = 5

$p=5$ y

d = 6

$d = 6$ dará como resultado una secuencia de primos en progresión aritmética de longitud

5

$5$ .

Entonces mi pregunta es ¿cuáles son las técnicas conocidas para construir una secuencia de números primos de longitud $k$ ? ¿Cómo se encontraría el "primer" primo en la secuencia o incluso el "primo más grande" que satisfaría la secuencia (suponiendo que haya uno)? Además, mientras que el teorema da un límite inferior para $d$ , ¿se sabe si es el límite inferior más agudo que existe?

NOTA: Esta no es mi área de investigación, por lo que esta pregunta es principalmente por curiosidad.

Respuestas (4)

Construcción de progresiones aritméticas

usuario31373 · Answer 1

No hay un número primo más grande que satisfaga la secuencia , ya que hay infinitas progresiones de longitud $k$ . Es razonable pedir un límite superior para el más pequeño $k$ Progresión de -términos en los números primos. Green y Tao ciertamente obtuvieron tal límite. Decir que es astronómicamente grande sería quedarse corto; es matemáticamente grande. :)

{norte}_{k} < C 2^{2^{2^{2^{2^{2^{2^{100 k}}}}}}}

$N_k < c2^{2^{2^{2^{2^{2^{2^{100k}}}}}}}$ Hay una buena descripción general en la disertación http://www.maths.bris.ac.uk/~matfb/dissertation.pdf , y la referencia [6] allí responde a su pregunta.

Da un límite pero no realmente una técnica para construir tal progresión. ¿Es esa una tarea imposible entonces?
@Eugene: Realmente no creo que se conozca una forma mejor que una implementación muy eficiente de la estrategia general de Zander. Muy vagamente, el punto de la prueba de Green-Tao es que los números primos se distribuyen de forma aleatoria, por lo que no dice mucho sobre dónde buscar puntos de acceso.

Zander · Answer 2

Esta página de registros parece ser una buena referencia. Se conjetura que hay un AP de longitud $n$ comenzando con el primo más pequeño $\ge n$ . el primordio $n\#=\prod_{p\le n}p$ se conjetura que es un límite inferior ajustado en la diferencia para todos $n>7$ , aunque son posibles valores más pequeños para $n\le 7$ , consulte A033188 .

Me sorprendería si hubiera una buena forma analítica de encontrar puntos de acceso pequeños, pero la fuerza bruta parece funcionar bastante bien. Para encontrar los cortos, puede comenzar con cualquier primo lo suficientemente grande e inspeccionar los AP con diferencias que son múltiplos del primorial. $n\#$ . Escribí un programa PARI rápido para hacer esto dado un número primo inicial y rápidamente me dio esto: para n=5,

47, 13907, 27767, 41627, 55487

229, 108799, 217369, 325939, 434509

541, 25951, 51361, 76771, 102181

donde las diferencias son 6, 47 y 11 por 11#. Un poco más, pero en aproximadamente un minuto para n=10:

47, 4350704867, 8701409687, 13052114507, 17402819327, 21753524147, 26104228967, 30454933787, 34805638607, 39156343427

541, 916008361, 1832016181, 2748024001, 3664031821, 4580039641, 5496047461, 6412055281, 7328063101, 8244070921

Tuve que buscar más para encontrar uno que comenzara con 229, esto tomó alrededor de 7 minutos:

229, 18170841379, 36341682529, 54512523679, 72683364829, 90854205979, 109025047129, 127195888279, 145366729429, 163537570579

Encontrar puntos de acceso mucho más largos parece requerir mucho más esfuerzo computacional (por ejemplo, AP26 era un proyecto PrimeGrid ).

Editar: originalmente escribí que el límite dado en la pregunta era correcto, pero me doy cuenta gracias a @ErickWong que leí mal y no está bien en los números primos.

Su ejemplo computacional fue muy útil. ¿Cómo es la complejidad?
Desafortunadamente, ni siquiera tengo una garantía de que exista tal progresión, por lo que realmente no puedo describir la complejidad. Para $n=10$ comenzando con 541 verifiqué ~4 millones de diferencias, comenzando con 229 requirió ~86 millones. Si dice que verificará M posibilidades para la diferencia común, entonces limita el tiempo de ejecución en función de la verificación de primalidad para ~nM números primos no mayores que $Mn\#$ , pero no hay garantía de éxito, por lo que tal límite probablemente no sea útil.

erick wong · Answer 3

Tenga en cuenta que la restricción $q<n$ se puede fortalecer para $q \le n$ a menos que el primer primo $p$ pasa a ser exactamente igual a $n$ (como en su ejemplo para $n=5$ ).

Cuando $n$ es primo, el límite inferior $d_0 = \prod\limits_{q<n} q$ dado por el resultado que cita no se logra a menos que los números $n, n+d_0, \ldots, n+(n-1)d_0$ son todos simultáneamente primos. Esto ocurre por $n=2, 3, 5$ , pero no para $n=7,11,13$ , y casi con certeza no para ningún valor primo mayor de $n$ (No hay prueba de esto, pero parece extremadamente improbable que ocurra alguna vez).

Dejando a un lado las tres excepciones anteriores, el límite inferior más conocido para $d$ es $\prod\limits_{q\le n} q$ . Se espera que esto sea ajustado (según el primer $k$ -conjetura de las tuplas), pero nadie ha sido capaz de probar ni siquiera el caso más simple: cuando $n=2$ deberíamos ser capaces de tomar $d=2$ , pero se desconoce si hay infinitas progresiones $p,p+2$ (lo seguro es que los hay).

eric naslund · Answer 4

Puede que esto no responda a la pregunta, pero me gustaría señalar que el trabajo más reciente de Green y Tao ha demostrado resultados aún más sólidos.

Específicamente, Green y Tao dan asintóticas exactas para el número de soluciones a los sistemas de ecuaciones lineales en los números primos, y su artículo Linear Equations in the Primes se publicó en Annals en 2010. En particular, esto nos dice asintóticos para el número de $k$ Progresiones aritméticas de dos términos en números primos hasta $N$ .

por ejemplo, como $N\rightarrow \infty$ , podemos contar el número asintótico de 4 tuplas de números primos $p_1<p_2<p_3<p_4\leq N$ que se encuentran en progresión aritmética, y es igual

(1 + o (1)) \frac{{norte}^{2}}{{registro}^{4} (norte)} \frac{3}{4} \prod_{pag \geq 5} (1 - \frac{3 pag - 1}{(pag - 1)^{3}}) .

$(1+o(1))\frac{N^2}{\log^4(N)} \frac{3}{4}\prod_{p\geq 5} \left(1-\frac{3p-1}{(p-1)^3}\right).$

Tenga en cuenta, sin embargo, que el artículo de Green y Tao hizo dos suposiciones principales. Asumieron la conjetura de Möbius Nilsquence (MN) y la conjetura de norma inversa de Gowers (GI). En un artículo publicado en Annals en 2012 , Green y Tao resuelven la conjetura MN, demostrando que la función de Möbius es fuertemente ortogonal a nilsecuencias. Recientemente, Green, Tao y Ziegler resolvieron la conjetura inversa de Gowers, y su artículo se encuentra actualmente en el arxiv. (Aún no ha sido publicado) Esto significa que incondicionalmente tenemos asintóticas para el número de primos en un $k$ término progresión aritmética.

Si desea obtener más información, le sugiero que lea el excelente artículo de estudio de Julia Wolf Progresiones aritméticas y polinómicas en números primos, d'après Gowers, Green, Tao y Ziegler . Es muy reciente, como lo fue para las conferencias Bourbaki de hace 2 meses.

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