Hipótesis de Riemann y la función de conteo primo

Cualquier límite$|\pi(x)-\rm {li}(x)|\le f(x)$con$f(x)=O(x^{1/2 + \epsilon})$implica la hipótesis de Riemann, y RH equivale a la existencia de una cota de ese tipo. El punto de este particular$f(x)$es que se sabe que es demostrable a partir de la hipótesis de Riemann, y los parámetros de la prueba se han elaborado explícitamente (y podrían ser algunos de los mejores disponibles en la actualidad), por lo que el resultado final no es "$f(x) = A\sqrt{x}(\log x)^B$para$x > C$para algunos$A,B$y$C$", pero$A = \frac{1}{8 \pi}$,$B=1$,$C = 2657$. El$O()$notación significa que el límite de$\frac{\log f(x)}{\log x}$es$1/2$; si el límite hubiera sido$\rho \in [\frac{1}{2},1]$los ceros (no triviales) de la zeta de Riemann tendrían partes reales en el intervalo$[1 - \rho, \rho]$. El mismo límite con cualquier otro valor de$A,B,C$también habría sido equivalente a RH.

$C$se puede eliminar inflando$A$para cubrir la primera$2656$casos y luego uno obtendría un límite válido para todos$x \geq 1$. Esto sería menos informativo, porque lo importante es minimizar el exponente$B$del logaritmo (que está relacionado con la distribución vertical de los ceros), entonces la constante$A$(que mide algún aspecto más fino de la distribución cero, pero no sé si se ha articulado qué es eso). el corte$C$es mucho menos significativo, porque no es asintótico, grande-$x$, cantidad, y puede verse afectado al mover un solo cero a lo largo de la línea crítica.

La demostración de L. Schoenfeld muestra dónde están estos números.$x_0$formar las afirmaciones con$x\ge x_0$viene de. Tenemos$x\ge 2657$en$6.18$de corolario$1$en la página$339$. esto viene de

$$|\theta(x)-x|\le \frac{1}{8\pi}\sqrt{x}\log(x)^2, x\ge x_0=599,$$ y $x_0=559$viene de la prueba en $(6.3)$. Para ser honesto, no es fácil hacer un seguimiento de las constantes $x_0$, que verá leyendo este artículo. La idea es que el enunciado sea verdadero para todos $x\ge x_0$, y un cálculo explícito (si tiene suerte) puede mostrar qué valor explícito para $x_0$es posible.