Si n>1n>1n>1, el cuadrado del número impar de Fibonacci F(2n+1)F(2n+1)F(2n+1) se puede escribir como la suma de exactamente F(2n+1)+1F (2n+1)+1F(2n+1)+1 cuadrados distintos de cero.

Owens demuestra que si$n>1$la bola de homología racional$B_{F(2n+1),F(2n-1)}$se puede incrustar sin problemas pero no de manera simpléctica en$\mathbb{CP}^2$. Del Teorema de Donaldson, Owens obtiene una obstrucción a la existencia de tales incrustaciones (Proposición 3.2). En particular, la red de intersección$\Lambda_M$del complemento de$B_{F(2n+1),F(2n-1)}$en$\mathbb{CP}^2$, que tiene rango$1$por el Lema 3.1, debe incrustarse en$\mathbb{Z}^{F(2n+1)+1}$, y su imagen debe intersecar de manera no trivial cada vector unitario. Dado que un generador de$\Lambda_M$tiene autoemparejamiento$F(2n+1)^2$, la conclusión sigue.

De un resultado del librito de Conway The Sensual Quadratic Form, y de un poco de cálculo, se sigue que todo número$n \geq 34$es la suma de cinco cuadrados distintos de cero. ese numero que falta$33$es un one-off. Hay una prueba en Niven y Zuckerman donde$34$se sustituye por el más fácil$170,$páginas 318-319 en la Quinta edición (con Montgomery, 1991).

Con$k \geq 6:$cualquier número$n \geq k + 14$puede expresarse como la suma de$k$cuadrados distintos de cero.

Los números que no son la suma de cinco cuadrados distintos de cero son:$1,2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 15, 18, 33$Esta lista está en OEIS con referencias

no seis:$1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 16, 19.$

El paso de inducción : si$n \geq n_k$significa que$n$es la suma de$k$cuadrados distintos de cero, entonces$n \geq 1 + n_k$significa que$n$es la suma de$1+k$cuadrados distintos de cero

Comentario: Esto es solo para alguna información. Probablemente se puede utilizar para una respuesta analítica a la pregunta.

Sabemos :

También:

Multiplicando ambos lados por$F_n$obtenemos:

Dividiendo ambos lados por$F_{n-1}$obtenemos:

Si$n=2k+1$entonces:

El número de términos en RHS es$(2k+1)$.