Declaración equivalente a la hipótesis de Riemann

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Declaración equivalente a la hipótesis de Riemann

Matemáticas
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usuario366818

Me dicen que la Hipótesis de Riemann es equivalente a la condición: $\psi(x) = x + O(x^{1+o(1)})$ , y pidió probar esto en la dirección de avance. (Aquí $\psi(x)$ es la función de Chebyshev).

Dado el contexto de mis notas, soy consciente de que se espera que haga esto usando una integral de contorno.

Creo que de una inversa de la Fórmula de Perron, obtenemos que $\psi(x) = \int_{\sigma - i\infty}^{\sigma + i\infty}\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}\cdot \frac{x^s}{s}ds$ , proporcionó $\sigma > 1$ donde escribimos $s = \sigma + it$ para un número complejo general.

Dado esto, y el conocimiento que la Hipótesis de Riemann nos dice dónde están las raíces de $\zeta(s)$ y así los polos de $\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}$ son, espero que se supone que debemos tomar una integral de contorno que se extiende a la derecha de la línea vertical $\left[\sigma_0 - in, \sigma_0 + in \right]$ , que se detiene antes de la línea $\sigma = \frac{1}{2}$ . Por lo tanto, por el teorema del residuo, concluimos que la integral de contorno se evalúa como $0$ para todos $n \in \mathbb N$ , y esto nos permite encontrar la forma deseada de $\psi(x)$ .

Sin embargo, donde estoy atascado ahora es evaluando la integral sobre las otras partes del contorno.

Por ejemplo supongamos que tenemos el contorno $C_n = [\frac{3}{2} - in, \frac{3}{2} + in] \cup [\frac{3}{2} + in, \frac{3}{4} + in] \cup [\frac{3}{4} + in, \frac{3}{4} - in] \cup [\frac{3}{4} - in, \frac{3}{2} - in]$ y etiqueta cada línea recta $C_n^1, C_n^2, C_n^3, C_n^4$ en orden, entonces, ¿cómo puedo calcular la integral sobre $C_n^2$ , ¿decir?

¿Hay una buena forma para $\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}$ en este rango que puede hacer que la integración sea más agradable?

¿Quizás se supone que debo tomar un contorno rectangular que se vuelve más delgado a medida que se hace más alto? Si tuviera que hacer eso, ¿sería capaz de justificar la delimitación de la integral por alguna constante, que puede ser absorbida por el término de error?

Estoy bastante confundido por esta pregunta y agradecería cualquier ayuda que pueda ofrecer, gracias.

reencuentros

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Dejar $\psi(x) =\sum_{n \le x} \Lambda(n),\psi_1(x) = \int_1^x \psi(y)dy$ .

$\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}+\frac{1}{s-1}$ es analítico para $\Re(s) > a$ Si por cada $\sigma > a$ , $\psi_1(x) =\frac{x^2}{2}+ O(x^{\sigma+1})$ .

Una dirección es obvia: si $\psi_1(x) - \frac{x^2}{2} = O(x^\sigma)$ entonces $s(s+1) \int_1^\infty (\psi_1(x)-\frac{x^2}{2})x^{-s-2}dx= -\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}-\frac{s(s+1)/2}{s-1}$ es analítico para $\Re(s) >\sigma$ .

La otra dirección necesita muchas estimaciones específicas para $\zeta(s)$ , en particular que la densidad de ceros implica $\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}+\frac{1}{s-1}=C+\sum_\rho \frac{1}{s-\rho}+\frac{1}{\rho} = O(\Im(s)^\epsilon)$ para $\Re(s) \ge \sigma$ lo que implica la convergencia absoluta de

ψ_{1} (X) - \frac{X^{2}}{2} = \frac{- 1}{2 i π} \int_{σ - i \infty}^{σ + i \infty} \frac{ζ^{'} (s)}{ζ (s)} \frac{X^{s + 1}}{s (s + 1)} d s = O (X^{σ + 1})

$\psi_1(x)-\frac{x^2}{2} = \frac{-1}{2i\pi}\int_{\sigma - i\infty}^{\sigma + i\infty}\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}\frac{x^{s+1}}{s(s+1)}ds= O(x^{\sigma+1})$

para traducir a $\psi(x)$ mirarás $\sum_{n \le x} \Lambda(n) (1-\frac{\log n}{\log x}) = x-\frac{1}{2i\pi}\int_{\sigma - i\infty}^{\sigma + i\infty}\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}\frac{x^{s}}{s^2}ds= x+O(x^{\sigma})$

Aplicando el teorema del residuo para obtener la fórmula explícita de $\psi_1$ como una serie sobre los polos de $\zeta'/\zeta$ necesita aún más estimaciones, cruzando la franja crítica, luego usando la ecuación funcional para evaluar la $\int_{-\infty+iT}^{-1+iT} \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \frac{x^s}{s(s+1)}ds$ parte, para la fórmula explícita para $\psi$ existe el problema adicional de la convergencia como $T \to \infty$ .

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usuario366818

reencuentros

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reencuentros

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