Un problema conceptual con las ecuaciones de campo de la relatividad general

(1) Bueno, esa es la intuición básica que uno debe tener al expandir la métrica como fluctuante sobre la métrica plana de Minkowski, es decir, escribir

$$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$$ dónde $h_{\mu\nu}$contiene toda la información sobre la curvatura, $\eta_{\mu\nu}$la métrica habitual de Minkowski. Lo que suele suceder en la mayoría de las clases es que aproximamos la métrica inversa como $$g^{\mu\nu}\approx\eta^{\mu\nu}-h^{\mu\nu}.$$ Esto es técnicamente incorrecto: la respuesta completa debería ser una serie infinita .

A medida que agregamos términos, la intuición debería ser que nos estamos moviendo iterativamente entre "el espacio-tiempo le dice a la materia cómo moverse" y "la materia le dice al espacio-tiempo cómo acurrucarse".

(Editar: la primera prueba de esto que realmente se dio se puede encontrar libremente en línea. S Deser, "Self-Interaction and Gauge Invariance". Gen.Rel.Grav. 1 (1970) 9-18. Eprint arXiv:gr-qc /0411023 .)

(2) Los argumentos habituales a favor de la no renormalizabilidad se reducen a:$G$la constante de acoplamiento de la gravedad tiene dimensiones geométricas de longitud al cuadrado, por lo que el conteo de potencias nos dice que esto da como resultado una teoría no renormalizable. Te podría interesar:

• Assaf Shomer, "Una explicación pedagógica de la no renormalización de la gravedad". Eprint arXiv:0709.3555 , 10 páginas.

Este es el famoso problema de reacción inversa en la gravedad perturbativa. Para evitarlo, generalmente solo trabajamos con unas pocas órdenes en una serie perturbativa (aunque la gente de PPN irá más allá de lo que parece cuerdo al hacer un trabajo numérico, pero no puede culparlos considerando que la radiación solo aparece en 2.5 PPN). No está claro si los métodos perturbativos de la relatividad general convergen.

Lo que está claro, sin embargo, es que puede tener con seguridad soluciones exactas para la relatividad general donde resuelve este problema de reacción inversa de forma no perturbativa. En particular, existe una prueba existente de que la autoenergía clásica de una bola cargada es finita, debido a una cancelación de la autoenergía electromagnética infinita contra la autoenergía gravitacional infinita.

Hasta donde yo sé, el comportamiento no lineal de la gravedad no tiene nada que ver con obtener infinitos en su cuantización (su no renormalización). De hecho, la gravedad pura de Einstein es finita de 1 bucle y la gravedad de Einstein acoplada al campo escalar es finita de 2 bucles. En contraste, la teoría de Yang-Mills, por ejemplo (un caso especial que se encuentra en el corazón del modelo estándar) tampoco es lineal pero es renormalizable (¡UV finita!) como lo demostró t'Hooft en los años 70.

Con respecto a la primera pregunta se podría dar el siguiente argumento. Considere las ecuaciones de campo de Einstein (EFE):

$$G_{\mu\nu}\equiv R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=\frac{8\pi G_N}{c^4} T_{\mu\nu}.$$

Observe que en el lado derecho, el tensor de energía de estrés es el que proviene de los campos de materia. Uno resuelve las ecuaciones de campo para la métrica$g_{\mu\nu}$y obtiene la solución que llamamos "campo gravitacional". Ahora nos gustaría considerar el efecto del propio campo gravitatorio en el lado derecho de las ecuaciones de campo de Einstein. Siguiendo a Landau-Lifshitz (vol. 2 sección 96), el siguiente paso sería construir el (pseudo-)tensor de energía de tensión gravitacional:

$$t^{\mu\nu} = - \frac{c^4}{8\pi G_N}G^{\mu \nu} + \frac{c^4}{16\pi G_N (-g)}((-g)(g^{\mu \nu}g^{\alpha \beta} - g^{\mu \alpha}g^{\nu \beta}))_{,\alpha \beta}.$$ Tenga en cuenta que esta cantidad NO es un tensor (consulte L&L vol. 2 para obtener más detalles). Sin embargo, debe ser tal que cuando se agrega a $T_{\mu\nu}$debería dar divergencia cero (para que el tensor de Einstein satisfaga las identidades de Bianchi o, en otras palabras, el tensor de momento de energía total (de materia $+$campo) se conserve). Desde $t_{\mu\nu}$, que codifica la información sobre la densidad de energía del campo gravitatorio, no es un tensor (en particular, si se desvanece en un punto, es posible que no se desvanezca en otro punto), carece físicamente de sentido hablar de si la energía gravitatoria es o de qué cantidad. allí en un punto definido en el espacio-tiempo. ¡De hecho, está deslocalizado! ¡Esto es consistente con el hecho de que localmente podemos "apagar" el campo gravitatorio mediante una elección adecuada de sistemas de coordenadas en esa vecindad local! Entonces, si dice que EFE implica una energía gravitatoria infinita, contradiría el principio de equivalencia, ¡haciendo que GR sea inconsistente en sí mismo! En mi opinión, este argumento básico parece resolver el problema de la naturaleza aparentemente recursiva de las ecuaciones de campo de Einstein.