¿Cómo fusionar la mecánica cuántica y la relatividad general?

"De hecho, entendemos perfectamente bien cómo incluir los efectos de la mecánica cuántica en la gravedad, siempre y cuando no hagamos preguntas sobre lo que sucede a distancias menores que la longitud de Planck".

Este extracto probablemente alude al enfoque descrito en esta revisión:

• "Introducción a la descripción de la gravedad de la teoría del campo efectivo", https://arxiv.org/abs/gr-qc/9512024 .

En ese enfoque, la gravedad se trata perturbativamente y con el entendimiento de que los resultados solo son válidos a una resolución suficientemente baja en comparación con la longitud de Planck.

Así es como funciona: sabemos cómo formular la teoría cuántica de campos (QFT) en un espacio-tiempo plano. "Espacio-tiempo plano" se refiere a un campo métrico especial. En relatividad general, el campo métrico$g_{ab}$es una entidad dinámica, que influye y es influenciada por todas las demás entidades dinámicas (materia, campo electromagnético, etc.). Para aplicaciones que involucran solo campos gravitatorios débiles, podemos escribir la métrica del espacio-tiempo$g_{ab}$en la forma$g_{ab}=\eta_{ab}+\kappa h_{ab}$, dónde$\eta_{ab}$representa el espacio-tiempo plano y$\kappa h_{ab}$es un residuo con algún coeficiente pequeño$\kappa$. Al igual que la mayoría de los cálculos en electrodinámica cuántica (QED) se realizan mediante una expansión en las potencias de la constante de estructura fina (que define la fuerza de las interacciones electromagnéticas), podemos tratar el resto$h_{ab}$como un campo cuántico mediante el uso de una expansión en los poderes de$\kappa$.

Como en QED, los términos en esta expansión involucran algunas integrales que estarían mal definidas ("infinitas") si asumiéramos ingenuamente que la teoría era válida en escalas arbitrariamente finas; pero sabemos que no lo es, y podemos explicar nuestra ignorancia de las escalas más finas usando un límite $\epsilon$, lo que equivale a eliminar cualquier parte de cualquier integral que involucre distancias menores que$\epsilon$. El corte es obviamente artificial, y está bien, porque no se supone que sea una teoría de todo. Se supone que solo es una teoría de las cosas con una resolución suficientemente baja. Esta es la idea detrás de la Teoría del campo efectivo, que es la visión moderna de casi todas las aplicaciones de QFT, ya sea que intente o no incluir la gravedad. En particular, esta es la base para la comprensión moderna de la renormalización en QFT, como se revisa en

• Lepage (1989), "¿Qué es la renormalización?" Boulder ASI, páginas 483-508, https://arxiv.org/abs/hep-ph/0506330 .

La definición de cualquier modelo en particular involucra varios parámetros$\lambda$, incluidas las constantes de acoplamiento, las masas de las partículas elementales, etc. El valor exacto de$\epsilon$no debería importar, porque es un corte artificial cuyo único papel es dar cuenta de nuestra ignorancia. De hecho, podemos compensar pequeños cambios en el valor de$\epsilon$haciendo los pequeños cambios correspondientes en todos los demás parámetros$\lambda$que definen el modelo, de tal manera que las predicciones del modelo permanecen esencialmente sin cambios a escalas mucho más gruesas que$\epsilon$. Esto es lo que significa "renormalización". En otras palabras, cuando tomamos los parámetros del modelo como funciones apropiadas$\lambda(\epsilon)$de$\epsilon$, las predicciones de baja resolución del modelo se vuelven prácticamente insensibles al valor preciso del límite$\epsilon$.

Decir que un modelo es renormalizable significa que el modelo tiene una breve lista de parámetros especiales, de modo que todos los demás parámetros del modelo pueden expresarse como funciones de estos especiales, sin ningún parámetro adicional.$\epsilon$-dependencia. Esto fue aclarado en el documento técnico.

• Polchinski (1984), "Renormalización y lagrangianos efectivos", Física nuclear B 231 : 269-295, http://max2.physics.sunysb.edu/~rastelli/2016/Polchinski.pdf , consultado el 14 de octubre de 2018.

QED (sin gravedad) es un ejemplo de modelo renormalizable. Por el contrario, decir que un modelo no es renormalizable significa aproximadamente que cada uno de los parámetros del modelo debe depender de$\epsilon$a su manera, independientemente de los demás, para mantener fijas las predicciones de baja resolución del modelo. A pesar del nombre que suena negativo, los modelos no renormalizables también son útiles. Los usamos todo el tiempo, con gran éxito empírico. La aproximación no relativista a QED es un ejemplo de modelo no renormalizable. El enfoque descrito anteriormente para incorporar la gravedad es otro ejemplo.

Por cierto, también podemos formular QFT ordinario en cualquier fondo de espacio-tiempo prescrito , como el que describe el campo gravitatorio de la tierra, sin intentar tratar la gravedad como uno de los campos cuánticos. Esto es mucho más simple (aunque sigue siendo un desafío y aún implica algunas sutilezas). Esta es la aproximación que utilizó Hawking para hacer su famoso cálculo que llevó a la sorprendente conclusión de que los agujeros negros irradian. Este cálculo no requería tratar la gravedad como un campo cuántico en absoluto.

Aunque las expansiones de parámetros pequeños como las descritas anteriormente son muy útiles (casi todos los cálculos en física de partículas las usan), tienen limitaciones. En particular, es casi seguro que son solo expansiones asintóticas , lo que significa que aunque los primeros términos dan una excelente aproximación, la serie eventualmente se desvía en potencias suficientemente grandes del parámetro de expansión, y finalmente diverge. Las expansiones asintóticas no son peculiares de QFT; han sido bien estudiados por matemáticos en contextos mucho más simples. Un ejemplo simple es la función de$\lambda$definido por

$$f(\lambda)\equiv \int_{-\infty}^\infty dx\ \exp(-x^2-\lambda x^4).$$ Por inspección, podemos ver que esta integral está bien definida para todos$\lambda > 0$, pero es indefinido ("infinito") para todos$\lambda\leq 0$. Sorprendentemente, podemos expandirlo en poderes de$\lambda$, evalúe exactamente cada una de las integrales resultantes, y los primeros términos de esta expansión brindan una excelente aproximación a la función exacta si$\lambda$es suficientemente pequeño (y positivo). Sin embargo, el radio de convergencia de esta serie es cero (porque la integral exacta se vuelve indefinida tan pronto como$\lambda\leq 0$), y cosechamos las consecuencias de esto cuando tratamos de llevar la expansión a órdenes superiores: cada término individual está bien definido, pero la serie no converge.

QED es presumiblemente así, y el enfoque de gravedad cuántica de gravedad débil descrito anteriormente también es presumiblemente así. Y, además de eso, los términos individuales en esa serie solo están bien definidos si mantenemos el límite$\epsilon$distinto de cero Entonces, aunque ese enfoque es presumiblemente adecuado para algunas aplicaciones de gravedad débil, su utilidad está limitada a baja resolución y órdenes bajos en la expansión. Por eso la gente dice que no define una teoría adecuada de la gravedad cuántica.