¿Deben ser físicamente posibles los variados caminos de la acción?

Por simplicidad sin pérdida de generalización, considere una partícula libre.

Cuando uso el Principio de Acción Mínima , imagino todas las variaciones del verdadero camino entre t 1 , t 2 independientemente de si son posibles o no. Pero mientras que algunos caminos posibles se pueden realizar variando las velocidades inicial y final correspondiente, otros requerirán un potencial virtual adicional. d V ( q ) para dar a la partícula la fuerza correspondiente requerida. Sin embargo, siempre se supone que el potencial es cero en el Lagrangiano al evaluar la acción en este caso.

Respuestas (2)

No, no lo hacen, ese es precisamente el punto del principio de mínima acción. Debe observar todos los caminos, independientemente de si obedecen o no las ecuaciones de movimiento. Entonces, las trayectorias con menor acción son las que sí obedecen las ecuaciones de movimiento.

En resumen, el trabajo del principio de mínima acción es decirnos qué caminos son "legales". Si ya supiéramos qué caminos son legales, entonces no tendría sentido usar el principio.

Pero cuando implementamos un principio de acción mínima, ¿no consideramos en la práctica solo un subconjunto de caminos, y la elección de este subconjunto no está a menudo estrechamente relacionada con qué caminos son más físicos? Por ejemplo, si quiero demostrar la ley de Snell a partir del principio del tiempo mínimo, será más práctico si solo considero caminos que son rectos excepto en la interfaz entre los dos medios. En QED, no vamos a considerar los diagramas de Feynman donde un electrón se descompone en dos fotones, porque los espines no pueden sumar. No creo que sea posible definir qué significarían "todos" los caminos.
@BenCrowell Para el ejemplo de la ley de Snell, ese es solo un ejemplo de cómo minimizar la acción en dos pasos: primero minimiza sobre las rutas de reflexión previa y posterior (dando líneas rectas), luego minimiza sobre el punto de reflexión. No obtienes las líneas rectas de forma gratuita; también provienen de la minimización de la acción.
@BenCrowell La situación en QED es diferente, porque es cuántica, pero aun así integramos todas las configuraciones de campo en la integral de trayectoria, incluidas aquellas que no conservan la energía o el momento angular, etc. El hecho de que un electrón no pueda descomponerse en dos Luego se derivan los fotones . Por ejemplo, puede inferir las reglas de Feynman a partir de las ecuaciones de Schwinger-Dyson que surgen de la integral de trayectoria.

Dada una acción

S [ q ]   =   ∫ t i t F d t   L ,
parece que OP está preguntando lo siguiente.

P: ¿Es un requisito para el principio variacional que cada trayectoria virtual [ t i , t F ] → R norte se puede realizar (como una solución a la segunda ley de Newton) aplicando una fuerza externa adicional apropiada F ( t ) ? En otras palabras, que cada trayectoria virtual es una solución clásica a una acción modificada

S ~ [ q ]   =   ∫ t i t F d t   L ~ , L ~   =   L + F i ( t ) q i ,

con un término fuente?

R: No, eso no es un requisito.

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