¿Prueba para determinar si un polinomio solo tiene raíces reales?

Comencemos con un hecho trivial: Un polinomio de grado$n$tiene un total de$n$raíces. Además, supongamos que todas las raíces son distintas y que el número total de raíces reales del polinomio de grado$n$es$X$. Por lo tanto, si$X = n$, todas las raíces del polinomio son reales. El reto, sin embargo, es encontrar$X$. ¡Podemos hacerlo usando el teorema de Sturm!

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El teorema es el siguiente:

Toma cualquier polinomio sin cuadrados $p(x)$, y cualquier intervalo$(a, b)$tal que$p_i(a), p_i(b) \neq 0$, para cualquier$i$. Dejar$p_0(x), . . . p_m(x)$denote la cadena de Sturm correspondiente a$p(x$). Para cualquier constante$c$, dejar$\sigma(c)$denota el número de cambios de signo en la secuencia$p_0(c), . . . p_m(c)$. Entonces$p(x)$tiene$\sigma(a) − \sigma(b)$raíces distintas en el intervalo$(a, b)$.

( Tomado de aquí )

Tratemos de entender los términos en cursiva anteriores:

1. Un polinomio sin cuadrados se refiere a uno que solo tiene raíces distintas.
2. Podemos entender que una cadena de Sturm continúa de la siguiente manera hasta$p_i(x) = 0$: $$p_0(x) = p(x)$$ $$p_1(x) = p^\prime(x)$$ $$p_2(x) = -1 \times \text{remainder of} \: (p_0 \div p_1)$$ $$p_3(x) = -1 \times \text{remainder of} \: (p_1 \div p_2)$$ $$\text{...}$$ $$p_m(x) = -1 \times \text{remainder of} \: (p_{m-2} \div p_{m−1})$$
3. Los cambios de signo se refieren a pasar de$+$a$-$y viceversa.

Con suerte, el teorema ahora tiene sentido. Simplemente, nos está diciendo que$X = \sigma(a) − \sigma(b)$en el intervalo$(a,b)$.

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Si todavía hay alguna confusión, el siguiente ejemplo puede ayudar:

1. Considere el polinomio$p(x) = x^3 - 7x + 7$. Nuestro objetivo es encontrar si tiene todas las raíces reales.
2. Empezamos por encontrar su cadena de Sturm: $$p_0(x) = x^3 - 7x + 7$$ $$p_1(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 7x + 7) = 3x^2 - 7$$ $$p_2(x) = -1 \times \text{remainder of} \: \frac{x^3 - 7x + 7}{3x^2 - 7} = \frac{14x}{3} - 7$$ $$p_3(x) = -1 \times \text{remainder of} \: \frac{3x^2 - 7}{\frac{14x}{3} - 7} = \frac{1}{4}$$ Podemos detenernos aquí porque$p_4(x) = 0$.

Nota: Los restos que se encuentran se pueden multiplicar por cualquier constante positiva para facilitar el cálculo. Por ejemplo$\frac{14x}{3} - 7$podría ser multiplicado por$3$dar$14x - 21$. Esto ahora podría usarse como$p_{2}(x)$.

3. Dentro del intervalo$(-\infty, \infty)$, ahora encontramos los signos de$p_i(a)$y$p_i(b)$para$i = \{0, 1, 2, 3 \}$que se representa en la siguiente tabla:

4. Por eso$X = \sigma(a) − \sigma(b) = 3 - 0 = 3$. Desde$X = n$, todas las raíces son reales.

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Podemos verificar el resultado anterior usando un método más convencional. La regla de los signos de Descartes garantiza exactamente una raíz negativa, que podemos llamar$a$. En consecuencia, la suma de las raíces restantes es$−a$y su producto es$\frac{-7}{a}$, por lo que las raíces restantes satisfacen la ecuación

$$x^{2}+ax−\frac{7}{a}=0 \quad (1)$$

Tiene un discriminante positivo si$a<-\sqrt[3]{28}$, dándonos$2$más raíces reales. Sin embargo, también tenemos$x^3−7x+7\to-\infty$como$x$decrece sin límite. Por lo tanto, la raíz negativa es$< -\sqrt[3]{28}$. Como resultado, la ecuación cuadrática$(1)$proporcionará$2$más raíces reales que coincidan con el resultado encontrado a través de la cadena Sturm.

( Crédito: Óscar Lanzi )

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A los efectos de esta pregunta, la respuesta anterior debería ser suficiente. Sin embargo, le recomiendo que busque la demostración de este teorema sin la cual nada de lo anterior podría tener sentido. ¡Salud!

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Editar$1$:$b = \infty \neq -\infty$en la tabla de arriba.

Editar$2$: Para que este método sea más efectivo, es posible que necesitemos evaluar los cambios de signo en puntos específicos en lugar de$(-\infty,\infty)$. Los límites superiores de Cauchy o Lagrange dan límites explícitos sobre el tamaño máximo de todas las raíces (reales o complejas). Por elección$a$y$b$fuera de este rango, tenemos$\sigma(a)-\sigma(b)=\sigma(-\infty)-\sigma(\infty)$es decir, el número total de raíces reales. ( Crédito: Michael Burr )