Paquetes de potencial y principal de Yang-Mills

El término transformación de calibre se refiere a dos nociones relacionadas en este contexto. Dejar$P$ser director$G$-haz sobre un múltiple$M$, y deja$\cup_i U_i$ser una tapadera de$M$. una conexión en$P$está especificado por una colección de$\mathfrak{g}=\mathrm{Lie}(G)$1-formas valoradas$\{A_i\}$definido en cada parche$\{U_i\}$, Juntos con$G$-funciones valoradas$g_{ij} : U_i \cap U_j \to G$en cada superposición doble, de modo que los campos de calibre superpuestos estén relacionados por

$$A_j = g_{ij} A_i g_{ij}^{-1} + g_{ij} \mathrm{d} g_{ij}^{-1}.\tag{1}$$

Las funciones de transición también deben satisfacer la condición de cociclo en superposiciones triples,$g_{ij}g_{jk}g_{ki} =1$. Esta es la primera noción de una transformación de indicadores, que relaciona campos de indicadores locales en gráficos superpuestos.

En segundo lugar, existe una noción de equivalencia de calibre en el espacio de conexiones. Dos conexiones$\{ A_i, g_{ij} \}$y$\{A_i',g_{ij}'\}$se denominan equivalentes de calibre si existen$G$-funciones valoradas$h_i : U_i \to G$definido en cada parche tal que

$$A_i' = h_i A_i h_i^{-1} + h_i \mathrm{d}h_i^{-1} ~~\text{and}~~ g_{ij}' = h_j g_{ij} h_i^{-1}\tag{2}$$

En términos de la conexión definida globalmente de 1 forma$\omega$en$P$, los campos de calibre local$\{A_i\}$se definen eligiendo una colección de secciones$\{\sigma_i\}$en cada parche de$M$. Los campos de calibre local se obtienen retirando la forma global 1,$A_i = \sigma_i^* \omega$. En parches superpuestos, tales retrocesos están relacionados por (1). Por otro lado, la elección de las secciones fue arbitraria; una colección diferente de secciones$\{\sigma'_i\}$relacionado con el primero por$\sigma'_i = \sigma_i h_i$conduce a la equivalencia de calibre (2).

dado un mapa$f: M \to M'$entre dos variedades y un haz$P'$encima$M'$, obtenemos un paquete sobre$M$por retroceso,$f^* P'$. Además, el paquete pullback depende solo de la clase de homotopía de$f$. Supongamos que tenemos una variedad contráctil$X$. Por definición, existe una homotopía entre el mapa de identidad$\mathbf{1}:X \to X$y el mapa trivial$p: X \to X$que lleva toda la variedad a un solo punto$p\in X$. Dejar$P$ser un paquete terminado$X$. El retroceso de identidad, por supuesto, define el mismo paquete,$\mathbf{1}^* P = P$. Por otro lado, el retroceso$p^* P$es un paquete trivial; mapea la misma fibra arriba$p$a cada punto en$X$. Pero los paquetes$\mathbf{1}^*P$y$p^*P$son equivalentes ya que$\mathbf{1}$y$p$son mapas homotópicos. Por lo tanto, un paquete sobre un espacio contráctil es necesariamente trivial (es decir, un producto directo).

En particular, un$G$-abrázate$\mathbb{R}^4$es trivial, ya sea$G$es abeliano o no abeliano. La cubierta$\cup_i U_i$tiene un solo gráfico,$\mathbb{R}^4$sí mismo. Hay un solo campo de calibre$A$, que es un definido globalmente$\mathfrak{g}$-valorado 1-formulario. Se obtiene de la forma 1$\omega$en$P$por retroceso,$A = \sigma^* \omega$, dónde$\sigma$es una sección definida globalmente. Escoger otra sección$\sigma' = \sigma g(x)$produce una conexión de calibre equivalente, relacionada con$A$por la ley habitual de transformación de calibre dada anteriormente.

Para obtener más detalles, consulte, por ejemplo, Nakahara "Topología, geometría y física", capítulo 10.

Está sucediendo algo un poco más sutil incluso en el caso en que el espacio-tiempo es contraíble.$\mathbb{R}^4$. Incluso en esta configuración trivial, generalmente se requiere (por razones físicas) que la conexión que se forma decaiga en un radio infinito. Eso es

$$A(x) \to 0\text{ as } |x|\to\infty.$$ Como ya se mencionó en la respuesta del usuario 81003, solo podemos determinar la forma de conexión 1 hasta la equivalencia de calibre, por lo que la condición de que $A(x) \to 0$es demasiado fuerte Lo mejor que podemos hacer es exigir que $$A(x) \to h(x) d h(x)^{-1}\text{ as }|x|\to\infty.$$ para alguna elección de $G$función valorada $h(x)$(que sólo puede definirse para $|x|$suficientemente largo).

Hay dos formas de interpretar cómo esto conduce a paquetes topológicamente no triviales. La forma más simple (y más heurística) es decir que esta condición de decaimiento significa elegir la función$h(x) : S^3 \to G$en la esfera en el infinito. Esta "condición límite" solo debe definirse hasta la deformación continua, por lo que realmente solo nos importa la clase de homotopía de$h$, que es un elemento de$\pi_3(G)$.

Una visión alternativa es observar que la condición de que$A(x)$es calibre-equivalente a$0$en el infinito significa que podemos sumar el punto$\infty$a nuestra variedad de espacio-tiempo y la conexión$A$seguirá estando bien definido hasta el calibre. Esto significa que realmente deberíamos mirar al director$G$haces en la compactación de$\mathbb{R}^4$, cual es$S^4$. Desde$S^4$no es contraible, ya no es cierto que todo principal$G$los paquetes son triviales. Como se explica en la respuesta del usuario 81003, ahora debemos elegir tablas de trivialización de$S^4$, que podemos tomar como los discos correspondientes a los hemisferios norte y sur de la esfera (cada uno extendido un poco para que se superpongan). La intersección de estos gráficos es el ecuador multiplicado por un pequeño intervalo$S^3\times (-\epsilon, \epsilon)$, que es homotopía equivalente a$S^3$. La función de transición en esta superposición

$$g_{12} : U_1\cap U_2 \simeq S^3 \to G$$ luego clasifica el paquete. Nuevamente, esto solo se define hasta la deformación continua, por lo que vemos que la clase del principal $G$paquete está determinado por un elemento de $\pi_3(G)$.

En este punto, está claro que el grupo calibre hace una diferencia en cuanto a si puede haber paquetes no triviales. Por ejemplo, desde$U(1) \cong S^1$, vemos que cada mapa$S^3 \to S^1$es homotópico al mapa constante (en otras palabras,$\pi_3(S^1) = 0$), por lo que todavía no hay$U(1)$paquetes en$\mathbb{R}^4$, incluso teniendo en cuenta la condición de decaimiento (como dijo el usuario 81003, ¡esto no significa que no haya transformaciones de calibre!). Sin embargo, si$G = SU(2) \cong S^3$, entonces vemos que$\pi_3(S^3) \cong \mathbb{Z}$(el entero cuenta el grado del mapa$S^3\to S^3$), por lo que hay algunas posibilidades no triviales. Esto da una interpretación topológica para$SU(2)$instantes en$\mathbb{R}^4$. Hay una discusión muy breve sobre esto en https://en.wikipedia.org/wiki/Instanton#Quantum_field_theory pero quizás otros conozcan mejores referencias.