U(1)U(1)U(1) anomalía abeliana/axial/quiral en 4D

Este contratérmino de Bardeen es una bestia escurridiza, debo decir. Sin embargo, compartiré lo que he encontrado y entendido:

Definir un$\mathrm{U}(1)$Teoría de calibre escribiendo su acción en espinores quirales de mano izquierda y derecha como

$$S_{\mathrm{chiral}}[A] = \int \bar \psi_L (\mathrm{i} {\not \hspace{-4px} \partial} - \not \hspace{-5px} A)\psi_L + \bar \psi_R (\mathrm{i} {\not \hspace{-4px} \partial} - \not \hspace{-5px} A)\psi_R$$

y observa que, con$j = j_R+j_L$y$j^5 = j^5_R - j^5_L$, tenemos

$$\partial_\mu j^\mu = 0 \; \text{and} \; \partial_\mu j^{5\mu} = \frac{1}{24\pi^2}F \wedge F = \frac{1}{12\pi^2}\mathrm{d}A\wedge\mathrm{d}A$$

Ahora, esto parece darnos la anomalía directamente. Sin embargo, también podemos considerar la introducción de un campo auxiliar$B_\mu$acoplado a la corriente axial como

$$S_{\mathrm{aux}}[A,B] = \int \bar \psi_L (\mathrm{i} {\not \hspace{-4px} \partial} - \not \hspace{-5px} A + \not B)\psi_L + \bar \psi_R (\mathrm{i} {\not \hspace{-4px} \partial} - \not \hspace{-5px} A - \not B)\psi_R$$

$B_\mu j^5_\mu$es un operador de calibre invariante, por lo que no debería arruinar nuestra teoría. Sin embargo, lo hace, como se encuentra para las identidades de Ward

$$\partial_\mu j^\mu = \frac{1}{6\pi}\mathrm{d}A\wedge\mathrm{d}B \; \text{and} \; \partial_\mu j^{5\mu} = \frac{1}{12\pi^2}(\mathrm{d}A\wedge\mathrm{d}A + \mathrm{d}B\wedge\mathrm{d}B)$$ Esto nos inspira a agregar el contratérmino de Bardeen

$$S_{\mathrm{Bardeen}}[A,B] = \frac{1}{6\pi^2}\int A \wedge B \wedge \mathrm{d}A$$

a la acción auxiliar. Ahora, las corrientes cumplen

$$\partial_\mu j^\mu = 0 \; \text{and} \; \partial_\mu j^{5\mu} = \frac{1}{4\pi^2}(\mathrm{d}A\wedge\mathrm{d}A + \frac{1}{3}\mathrm{d}B\wedge\mathrm{d}B)$$

y tenemos de hecho que la perturbación invariante de calibre por$B$ya no destruye la invariancia del calibre. Así, de lo que nos hemos deshecho mediante el contratérmino es de la anomalía de calibre , no de la anomalía axial . Tenga en cuenta que esto es de hecho una renormalización en el sentido habitual, ya que$A \wedge B \wedge \mathrm{d}A$produce algunos diagramas de acoplamiento/Feynman adicionales.

Lo que probablemente lo confundió es que muchas fuentes afirman que no existe un contratérmino local para la anomalía axial. Esto es totalmente cierto, ya que$\int F \wedge F$es un término topológico, la segunda clase de Chern y, por lo tanto, no es local. Podría agregar eso a la acción para tratar de eliminar la anomalía axial, pero este no sería un término local y, por lo tanto , no sería bueno hacerlo.