¿Cómo extraer una respuesta finita después de aplicar la regularización dimensional en QED?

Question

¿Cómo extraer una respuesta finita después de aplicar la regularización dimensional en QED?

Física
renormalización
Feynman-diagramas
teoría cuántica de campos
regularización-dimensional

prima

Cuando uno aplica la regularización dimensional en QED, al final, a menudo obtiene una expresión como

Γ (norte / 2) {(\frac{s}{m^{2}})}^{- norte / 2}

$\Gamma(n/2)\left(\frac{s}{\mu^{2}}\right)^{-n/2}$ , dónde

n

$n$ es un número pequeño,

Γ ()

$\Gamma()$ es la función gamma,

μ

$\mu$ es una escala masiva y

s

$s$ es una constante relacionada con el diagrama de Feynman específico.

Al hacer un pequeño $n$ aproximación a la ecuación anterior, se obtiene una expresión como:

\frac{2}{norte} - γ - en (\frac{s}{m^{2}})

$\frac{2}{n}-\gamma -\ln\left(\frac{s}{\mu^2}\right)$

Aquí, en libros de texto como 'Teoría cuántica de campos' (Mandl y Shaw, capítulo 10: Regularización, ecuación 10.54), el primer término se ignora porque diverge en el límite como $n$ va a cero. $\mu$ es reemplazado por $m$ - la masa del electrón, tal vez porque $\mu$ es el factor de escala de masa. Además, el segundo término $\gamma$ , se descarta, tal vez porque es una constante sin ningún factor de escala de masa $\mu$ en él, y por lo tanto no es físico.

Todo esto me parece muy ad hoc. ¿Estas reglas son generalmente aplicables al hacer la regularización dimensional? Es $\mu$ siempre reemplazado por $m$ ? ¿Son todos los términos como $\gamma$ cayó al final? ¿Pueden todos los términos como $\frac{2}{n}$ que divergen siempre ser ignorados con seguridad?

En otras palabras, necesito seguir un procedimiento general para obtener una respuesta finita después de aplicar la regularización dimensional. Sé que en la regularización dimensional, expandimos analíticamente una función lejos de los polos en el plano complejo. Pero, ¿cómo obtenemos una respuesta finita en el proceso?

wah

Uf. Considero que la teoría de la perturbación renormalizada es la mejor para comprender cómo implementar cuidadosamente el reg dim y lo que sucede con el

1 / ϵ

$1/\epsilon$ 's y las constantes. Peskin y Schroeder solo hacen un buen trabajo al describir las cosas. El libro de Sterman puede ser un poco difícil de leer porque es minucioso, pero ese también es su punto fuerte. Véase especialmente la discusión de Sterman sobre los esquemas de renormalización a partir de la página 285 de su libro.

AccidentalFourierTransformar

No "dejas caer" los términos: los reabsorbes en contratérminos. También le permiten reemplazar

μ

$\mu$ para cualquier otro

μ^{'}

$\mu'$ quiere, esencialmente reabsorbiendo un término de la forma

\log \frac{μ}{μ^{'}}

$\log\frac{\mu}{\mu'}$ . En pocas palabras: si un libro le dice que la reanormalización consiste en descartar términos, consiga un libro mejor.

Respuestas (1)

¿Cómo extraer una respuesta finita después de aplicar la regularización dimensional en QED?

Uf. Considero que la teoría de la perturbación renormalizada es la mejor para comprender cómo implementar cuidadosamente el reg dim y lo que sucede con el $1/\epsilon$ 's y las constantes. Peskin y Schroeder solo hacen un buen trabajo al describir las cosas. El libro de Sterman puede ser un poco difícil de leer porque es minucioso, pero ese también es su punto fuerte. Véase especialmente la discusión de Sterman sobre los esquemas de renormalización a partir de la página 285 de su libro.
No "dejas caer" los términos: los reabsorbes en contratérminos. También le permiten reemplazar $\mu$ para cualquier otro $\mu'$ quiere, esencialmente reabsorbiendo un término de la forma $\log\frac{\mu}{\mu'}$ . En pocas palabras: si un libro le dice que la reanormalización consiste en descartar términos, consiga un libro mejor.

Mad Max · Answer 1

Cuando se trata de renormalización, el procedimiento de reabsorber ciertas cantidades en contratérminos parece un poco ad hoc. Aquí hay algunas pautas generales,

Los términos reabsorbidos deben ser locales correspondientes a los contratérminos locales (con restricciones sobre la dependencia del momento externo, por ejemplo, un contratérmino de masa debe ser independiente del momento ). En el caso de OP, los términos reabsorbidos deben ser independientes de $s$ .
La parte infinita siempre debe ser reabsorbida. En el caso de OP, los términos reabsorbidos deben incluir $\frac{2}{n}$ .
Ya sea para reabsorber o no la parte finita (el $\gamma$ parte en el caso de OP) es solo una cuestión de conveniencia (más sobre esto a continuación), que no tiene relación física. Aquí es donde las diferencias entre $MS$ y $\bar{MS}$ vienen los esquemas.

Algunos comentarios sobre la escala de renormalización $\mu$ ,

Se puede argumentar a favor de la existencia de $\mu$ simplemente invocando que el $x$ en $ln(x)$ debe ser adimensional. independiente $ln(s)$ con $s$ de masa-dimensión cuadrada no tiene ningún sentido, mientras que $ln(\frac{s}{\mu^2})$ es aceptable.
La ecuación del grupo de renormalización, tal como se enmarca en la mayoría de los libros de QFT, está en términos de $\mu$ , que es una forma indirecta de hacer RG con $s$ . Por ejemplo, si estamos interesados en una ecuación diferencial para $x(s)$ con condición inicial $x(s)|_{s=\mu^2} = x_0$ , la solución se puede parametrizar como $x(s, \mu^2, x_0)$ . Uno puede reemplazar una ecuación diferencial original de $dx/ds$ con eso de $dx/d\mu$ .
Como lo señaló @AccidentalFourierTransform, puede reemplazar $\mu$ para cualquier otro $\mu'$ desea, esencialmente mediante la reabsorción de un término finito adicional de la forma $ln(\frac{\mu^2}{\mu'^2})$ . Como se ilustra en el punto anterior, $\mu$ simplemente establece el punto inicial de ejecución en RG. Uno puede comenzar a correr desde un punto inicial diferente. $\mu'$ .
El milagro de la mejora de RG se puede lograr fácilmente mediante la simple reanudación de series geométricas de diagramas de Feynman, al menos en el contexto de QFT perturbativo. Si este tipo de resumen perturbativo se puede atenuar como no perturbativo es un punto discutible.

¡Gracias @AccidentalFourierTransform! Sí, soy plenamente consciente de eso. El ejemplo es solo un término de masa independiente del momento , en lugar de un término cinético .

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prima

wah

AccidentalFourierTransformar

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