¿Por qué no tenemos logaritmos o exponenciales de los campos en las Lagrangianas?

Hay una razón que prohíbe funciones que no sean polinomios de bajo grado, pero a veces no nos importa esa razón, y entonces tenemos funciones complicadas de los campos en el Lagrangiano. Permítanme primero dar la razón, luego explicar cuándo lo ignoramos y luego un ejemplo.

Usemos unidades donde la acción es adimensional, es decir,$\hbar = 1$, y también$c = 1$. Entonces la acción es

$$S = \int d^4 x \, \mathcal L.$$ y $d^4x$tiene las unidades de $\text{mass}^{-4}$; su dimensión de masa es $-4$. De ahí el lagrangiano $\mathcal L$debe tener unidades de $\text{mass}^4$, es decir, dimensión de masa $4$. En estas unidades, el tensor de campo electromagnético $F_{\mu\nu}$tiene dimensión de masa $2$y un campo de Dirac $\psi$dimensión de masa $\frac 3 2$.

Ahora resulta que en una teoría renormalizable , cualquier constante de acoplamiento debe tener dimensión de masa$d \ge 0$-- la prueba está en Weinberg, Cap. 12. De ahí un término como$\frac{1}{M} \bar \psi \gamma^\mu\gamma^\nu F_{\mu\nu} \psi$o$\frac{1}{M^4}(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})^2$no puede aparecer en un Lagrangiano renormalizable . A forteriori , esto descarta funciones como$\exp(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})$. [Esta es también la razón por la que la relatividad general y la QFT no se mezclan: la curvatura tiene una dimensión de$\text{length}^{-2} = \text{mass}^2$, asi que$G$tiene dimensión de masa$-2$.]

Sin embargo, si eliminamos el requisito de renormalizabilidad, entonces en una teoría de campo efectiva no hay límite para lo que podemos poner en nuestro Lagrangiano. De hecho, un término como$\frac{1}{M} \bar \psi \gamma^\mu\gamma^\nu F_{\mu\nu} \psi$aparece en la teoría efectiva de los electrones en campos externos, es el famoso momento magnético anómalo. Si bien esto sigue siendo un polinomio, Heisenberg y Euler calcularon el Lagrangiano efectivo para QED en un fuerte campo de fondo ya en los años 30. Está

$${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\mathcal {F}}-{\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-m^{2}s\right)\left[(es)^{2}{\frac {\operatorname {Re} \cosh \left(es{\sqrt {2\left({\mathcal {F}}+i{\mathcal {G}}\right)}}\right)}{\operatorname {Im} \cosh \left(es{\sqrt {2\left({\mathcal {F}}+i{\mathcal {G}}\right)}}\right)}}{\mathcal {G}}-{\frac {2}{3}}(es)^{2}{\mathcal {F}}-1\right]{\frac {ds}{s^{3}}}}$$ dónde $\mathcal F = \frac{1}{4}F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}$y $\mathcal G = \frac{1}{4}\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma} F^{\mu\nu}F^{\rho\sigma}$. ¡Toda la complicada función de los campos!

El lagrangiano de Heisenberg-Euler ha sido objeto de mucho estudio desde , y estoy seguro de que otros pueden dar otros ejemplos de teorías de campo efectivas con acciones no polinómicas.