La frase "Trace Anomaly" parece usarse de dos maneras diferentes. ¿Cuál es la relación entre los dos?

Se puede dar una buena analogía de la diferencia entre los dos en términos de otros dos ejemplos de anomalías, que posiblemente sean más familiares.

Considere una teoría de campo con una simetría global, tome$U(1)$por simplicidad. En el nivel clásico, las ecuaciones de movimiento conducen a la existencia de una corriente conservada (teorema de Noether).

A nivel cuántico, la conservación de la corriente es válida como ecuación de operador, es decir, es válida en correladores en puntos separados . Los dos efectos, relacionados pero de naturaleza muy diferente, que se denominan anomalías, son:

1) Pueden existir términos de contacto en los correlacionadores (es decir, términos que son distintos de cero solo cuando dos o más de los operadores en el correlacionador se evalúan en el mismo punto) que no respetan la ecuación del operador. En la teoría de campos 4D, esto suele ocurrir en correladores de tres operadores actuales. Esto es lo que a veces se denomina anomalía de 't Hooft. No representa una ruptura de la simetría, porque la conservación del operador actual sigue siendo válida en puntos separados y todavía se obtiene una carga conservada. Sin embargo, conduce a restricciones interesantes (los coeficientes de dichos términos de contacto deben coincidir entre el UV y el IR, si la simetría no se rompe a lo largo del flujo RG).

2) Puede haber efectos cuánticos (puede pensar en ellos como correcciones de bucle, suponiendo que estamos en un entorno perturbativo) que violan la ecuación del operador incluso en puntos separados . En este caso, la simetría se rompe, como si agrega un término en el Lagrangiano que no respeta la simetría. Ya no hay carga conservada.

La relación entre 1) y 2) se puede explicar en un ejemplo ligeramente refinado. Tome la simetría global como$U(1)^2$. Entonces podría tener una anomalía de tipo 1) en un correlador que involucre una corriente de la primera$U(1)$, y dos corrientes del segundo$U(1)$. Ahora suponga que modifica la teoría midiendo el segundo$U(1)$, es decir, acoplar la corriente del segundo$U(1)$a campos de indicadores dinámicos. En la nueva teoría calibrada, la primera$U(1)$se rompe por una anomalía de tipo 2). La divergencia de su corriente ahora es distinta de cero y viene dada por la densidad de Pontryagin de los campos de norma del segundo$U(1)$.

El primer ejemplo de anomalía de traza que analiza es el análogo de 1), mientras que el segundo es el análogo de 2), cuando en lugar de un global$U(1)$consideramos la simetría de dilatación. El primer ejemplo no representa una violación de la simetría, es solo la declaración de que ciertos términos de contacto en los correladores con múltiples inserciones del tensor de energía-momento no son compatibles con la condición de ausencia de rastro. En cambio, el segundo ejemplo es una genuina violación de la simetría. La analogía con el$U(1)$la simetría no se cumple cuando tratamos de relacionar 1) con 2), porque el equivalente a "acoplar la corriente al campo calibre" sería introducir la gravedad dinámica, lo que nos aleja del dominio de la teoría cuántica de campos.

Esta analogía se vuelve muy concreta en las teorías supersimétricas. Allí, el tensor energía-momento pertenece al mismo multiplete de la corriente asociada a la llamada simetría R. La supersimetría relaciona la anomalía de 't Hooft de esta corriente con el primer tipo de anomalía de traza que usted analiza (es decir, tienen el mismo coeficiente). Además, cuando la simetría de dilatación se rompe por un acoplamiento de calibre a través de la anomalía de traza del segundo tipo que usted analiza, entonces la corriente tiene una anomalía de tipo 2). Nuevamente, la anomalía de traza y la anomalía actual tienen el mismo coeficiente por supersimetría.

Los dos tipos de anomalías de traza están relacionados pero son distintos. La primera a la que te refieres es la anomalía en las transformaciones de Weyl que ocurre cuando colocas un CFT sobre un fondo curvo. El CFT sigue siendo exactamente conforme invariante en el espacio plano, pero esta simetría se rompe por el campo gravitatorio de fondo. Es útil pensar en CFT en dos dimensiones, como el escalar sin masa libre. Para estas teorías, si cambia la escala de la métrica por un factor conforme$\exp(2\omega)$, entonces la función de partición es invariante hasta un término de Liouville,$Z[\exp(2\omega)\delta_{ab}]=Z[\delta_{ab}]\exp(\int R\Box^{-1}R)$, donde he dejado fuera factores como 48 y$\pi^2$. Puede ver esto usando la regularización dimensional, si desea hacer un cálculo.

El segundo tipo de anomalía de traza sobre la que preguntó se conoce como anomalía operativa y ocurre incluso en un espacio plano. Ocurre cuando tienes una teoría que es clásicamente conforme invariante, pero no cuánticamente. Diste el buen ejemplo de una teoría de calibre (¡aunque la teoría de un campo de Maxwell libre en realidad no es una CFT fuera de 4 dimensiones! Consulte http://arxiv.org/pdf/1101.5385.pdf ). Otro buen ejemplo es la teoría de la hoja mundial para la teoría de cuerdas en un fondo curvo, es decir, un modelo sigma no lineal.

En general, una teoría de campos tiene ambos tipos de anomalías de traza. Si es un CFT entonces no tiene el tipo operatorio.

PD: también solicitó aplicaciones de la anomalía de seguimiento operacional. Esta es solo la función beta de la teoría, y de ella se sigue toda la teoría del grupo de renormalización. La aplicación más famosa de esto en la física de partículas es probablemente el uso de la libertad asintótica para comprender el comportamiento de alta energía en QCD con acoplamiento débil.