Teorema del índice y cara UV e IR de la anomalía quiral

Question

Teorema del índice y cara UV e IR de la anomalía quiral

Física
topología
quiralidad
renormalización
anomalías cuánticas
teoría cuántica de campos

Nombre AAAA

El teorema del índice en teoría con fermiones y campos de calibre implica la relación entre el índice $n_{+}-n_{-}$ del operador de Dirac y la integral $\nu$ sobre EM campo chern clase característica:

\begin{matrix} (1) & {norte}_{+} - {norte}_{-} = v \end{matrix}

$\tag 1 n_{+} - n_{-} = \nu$ Centrémonos en 4D. El teorema del índice se obtiene calculando jacobianas anómalas

j [α] = Exp [- 2 i α \sum_{norte = 1}^{norte = \infty} \int d^{4} X_{mi} ψ_{norte}^{†} γ_{5} ψ_{norte}]

$J[\alpha] = \text{exp}\left[-2i\alpha \sum_{n = 1}^{N = \infty}\int d^{4}x_{E}\psi^{\dagger}_{n}\gamma_{5}\psi_{n}\right]$ Aquí

n

$n$ denota el número de funciones propias del operador de Dirac

D_{I} γ_{I}, D_{I} \equiv i \partial_{I} - A_{I}

$D_{I}\gamma_{I}, \quad D_{I} \equiv i\partial_{I} - A_{I}$

Por un lado, esta es una cantidad mal definida,

j [α] ≃ Exp [i α \underset{X \to y}{límite} Tr (γ_{5}) d (X - y)],

$J[\alpha] \simeq \text{exp}\left[i\alpha \lim_{x \to y}\text{Tr}(\gamma_{5})\delta (x - y)\right],$ por lo que requiere la regularización UV. La forma explícita de esta regularización está fijada por los requisitos de calibre e invariancia ''euclidiana'', lo que lleva a introducir la función

f ({(\frac{D_{I} γ_{I}}{M})}^{2})

$f\left( \left(\frac{D_{I}\gamma_{I}}{M}\right)^{2}\right)$ , con

M

$M$ siendo el parámetro de regularización. Por otro lado, usando la regularización, no es difícil mostrar que el exponente es igual al

- 2 i α (n_{+} - n_{-})

$-2i\alpha (n_{+}-n_{-})$ . Dado que este número define la diferencia de los modos cero, depende solo de la propiedad IR de la teoría. Además,

ν

$\nu$ también está determinado por el comportamiento de los campos de calibre en infinitos, siendo IR un número definido.

Debido a este rompecabezas, quiero preguntar: ¿proporciona el teorema del índice la relación entre la naturaleza IR (modos cero, topología a gran escala) y la naturaleza UV (regularización requerida) de la anomalía quiral?

Precisamente , conozco la interpretación del "flujo espectral" de la anomalía quiral, según la cual una anomalía es el movimiento colectivo de la carga quiral desde el mundo UV al IR. ¿El teorema del índice proporciona esta interpretación?

Cosmas Zachos

Básicamente, 1. sí; 2. si Probablemente haya leído sobre Coleman & Grossman, 1982 .

Nombre AAAA

@CosmasZachos: lo siento, pero después de una lectura rápida no puedo encontrar el tema de mi pregunta en el artículo vinculado. ¿Está el primero contenido en el segundo?

Cosmas Zachos

Implícitamente, sí: desarrolla las condiciones de coincidencia de anomalías de 't Hooft, que aparentemente es el corazón de su amplia pregunta: ¿está preguntando cómo implementar la conexión UV-IR? A menos que quisiera la estructura topológica completa del espectro.

Cosmas Zachos

¿Arrojarían algo de luz las ilustraciones del final de Bilal 2008 ? Te refieres a algún "rompecabezas" algo oracularmente.

Nombre AAAA

@CosmasZachos: No he encontrado allí la información sobre cómo el teorema del índice implementa la interpretación del flujo colectivo de la anomalía quiral.

Cosmas Zachos

Las respuestas a sus preguntas reconfiguradas son nuevamente, sí y sí . Pruebe Karzeyev 2010 a continuación. Pero no hay escalas involucradas en la topología, solo límites. Siempre es un descriptor de IR. Todas las discusiones sobre el corte de los rayos ultravioleta son algo inútiles, ya que estamos discutiendo el espectro de fermiones en su totalidad, que abarca todos los modos "UV". El teorema del índice analiza la superficie de una región que contiene los modos UV. En el espacio de impulso, en cambio, le importa el límite UV. ¿Te preocupa la topología en el espacio de momento?

Respuestas (1)

Teorema del índice y cara UV e IR de la anomalía quiral

Básicamente, 1. sí; 2. si Probablemente haya leído sobre Coleman & Grossman, 1982 .
@CosmasZachos: lo siento, pero después de una lectura rápida no puedo encontrar el tema de mi pregunta en el artículo vinculado. ¿Está el primero contenido en el segundo?
Implícitamente, sí: desarrolla las condiciones de coincidencia de anomalías de 't Hooft, que aparentemente es el corazón de su amplia pregunta: ¿está preguntando cómo implementar la conexión UV-IR? A menos que quisiera la estructura topológica completa del espectro.
¿Arrojarían algo de luz las ilustraciones del final de Bilal 2008 ? Te refieres a algún "rompecabezas" algo oracularmente.
@CosmasZachos: No he encontrado allí la información sobre cómo el teorema del índice implementa la interpretación del flujo colectivo de la anomalía quiral.
Las respuestas a sus preguntas reconfiguradas son nuevamente, sí y sí . Pruebe Karzeyev 2010 a continuación. Pero no hay escalas involucradas en la topología, solo límites. Siempre es un descriptor de IR. Todas las discusiones sobre el corte de los rayos ultravioleta son algo inútiles, ya que estamos discutiendo el espectro de fermiones en su totalidad, que abarca todos los modos "UV". El teorema del índice analiza la superficie de una región que contiene los modos UV. En el espacio de impulso, en cambio, le importa el límite UV. ¿Te preocupa la topología en el espacio de momento?

Tomás · Answer 1

El teorema del índice implica que en un sector topológico dado $\nu$ hay $n_L,n_R$ Modos cero L/R tales que $n_L-n_R=\nu$ . Estas son soluciones de la ecuación euclidiana de Dirac 4D $\gamma\cdot D\psi=0$ . En particular, $\psi$ debe ser normalizable en 4D.

Ahora (para simplificar) vaya al indicador temporal y mire la ecuación de Dirac asociada $\partial_t\psi = i\alpha\cdot D\psi$ . Para campos que varían suavemente, las soluciones 4D deben corresponder a una solución adiabática del tipo

ψ (X, t) = ψ (X, - \infty) Exp (- \int_{- \infty}^{t} ϵ (t^{'}) d t^{'}) .

$\psi(x,t) = \psi(x,-\infty) \exp(-\int^t_{-\infty}\epsilon(t') dt')\, .$ Ahora la única forma en que

ψ

$\psi$ es normalizable es que

ϵ

$\epsilon$ cambia el signo como

t

$t$ viene de

- \infty

$-\infty$ a

+ \infty

$+\infty$ . Esto significa que el flujo espectral del hamiltoniano de Dirac

H

$H$ es igual al desequilibrio quiral de los modos cero 4D, que por el teorema del índice está determinado por la topología 4D.

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Respuestas (1)

Tomás

La anomalía quiral no abeliana y los diagramas de un bucle más altos que el triángulo

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