La anomalía quiral no abeliana y los diagramas de un bucle más altos que el triángulo

Supongamos fermiones quirales$\psi$interactuando con campos de indicador$A_{\mu,L/R}$. Con$P_{L/R} \equiv \frac{1\mp\gamma_{5}}{2}$y$t_{a,L/R}$denotando los generadores, la acción correspondiente dice

$$S = \int d^{4}x\bar{\psi}i\gamma_{\mu}D^{\mu}\psi, \quad D_{\mu} = \partial_{\mu} - iA_{\mu,L}^{a}t_{a,L}P_{L} - i\gamma_{5}A_{\mu,R}^{a}t_{a,R}P_{R}$$ Para comprobar la presencia de la anomalía $\text{A}(x)$en la ley de conservación para el actual $$J^{\mu}_{L/R,c} \equiv \bar{\psi}\gamma^{\mu}\gamma_{5}t_{c}\psi,$$ tenemos que calcular el VEV de su divergencia covariante: $$\tag 1 \langle (D_{\mu}J^{\mu}_{L/R}(x))_{a}\rangle_{A_{L/R}} \equiv \langle \partial_{\mu}J^{\mu}_{L/R,a} +f_{abc}^{L/R}A^{L/R}_{\mu,b}J^{\mu}_{L/R,c}\rangle_{A_{L/R}} \equiv \text{A}^{L/R}_{a}(x),$$ dónde $f_{abc}$es la estructura constante.

Estudiemos las contribuciones one-loop (no existen otras contribuciones, como establecieron Adler y Bardeen) en$(1)$. En general, tenemos que estudiar diagramas de triángulos, diagramas de caja, diagramas de pentágono, etc., que surgen de la acción cuántica efectiva$\Gamma$. Del análisis dimensional de las integrales correspondientes concluimos que el vértice de tres puntos

$$\Gamma_{\mu\nu\alpha}^{abc}(x,y,z) \equiv \frac{\delta^{3} \Gamma}{\delta A^{\mu}_{a}(x)\delta A^{\nu}_{b}(y)\delta A^{\alpha}_{c}(z)},$$ que genera el diagrama triangular, es linealmente divergente, el vértice de cuatro puntos $\Gamma_{\mu\nu\alpha\beta}^{abcd}(x,y,z,t)$es logarítmicamente divergente, el vértice de cinco puntos $\Gamma_{\mu\nu\alpha\beta\gamma}^{abcde}(x,y,z,t,p)$es convergente, y así sucesivamente.

A diferencia del caso abeliano, donde el único diagrama triangular hace la contribución en la anomalía, aquí contribuyen más diagramas. Precisamente, sabemos que la anomalía distinta de cero en el diagrama de triángulo requiere un coeficiente distinto de cero

$$D_{abc}^{L/R} \equiv \text{tr}[t_{a},\{t_{b},t_{c}\}]_{L/R}$$ El diagrama de caja (con el requisito de la simetría de Bose) es proporcional a $$\tag 2 D_{abcd}^{L/R} \equiv \text{tr}[t_{a}\{t_{b},[t_{c},t_{d}]\}] = if_{cde}D^{L/R}_{abe},$$ mientras que el diagrama del pentágono - para $$\tag 3 D_{abcde}^{L/R} \equiv \text{tr}[t_{a}t_{[b}t_{c}t_{d}t_{e]}] \sim f_{r[bc}f_{de]s}D^{L/R}_{ars}$$ Por lo tanto, parece que ellos también hacen la contribución en la anomalía. Además, a partir de las condiciones de consistencia de Wess-Zumino, vemos que al menos el diagrama de caja contribuye en la anomalía no abeliana.

Tengo dos preguntas debido a esto.

1) La anomalía quiral surge como resultado de la imposibilidad de definir el funcional de acción local (en términos de momentos) generando el contratérmino que anula la invariancia de norma rompiendo las correcciones en n-puntos vértices. El diagrama del triángulo es linealmente divergente, y debido a la simetría de Bose se puede demostrar que la única acción no local puede generar la anomalía en el límite de momentos pequeños. Con este espíritu, podemos cancelar los diagramas de caja y pentágono (que divergen linealmente) agregando los contratérminos locales (precisamente, el cambio lineal del impulso de integración no provoca la aparición de términos de superficie anómalos), por lo que no entender por qué hacen la contribución en la anomalía$(1)$.

2) Si existe la razón por la que no se pueden cancelar agregando el contratérmino, ¿qué pasa con los diagramas hexagonales, etc.? ¿Por qué desaparecen? ¿Por algo como la identidad de Jacobi para las constantes de estructura?

una edición

Parece que la respuesta es que los siguientes diagramas hacen la contribución en la anomalía.$(1)$, pero no por$(2)$,$(3)$(este último solo muestra que la contribución anómala de los diagramas de caja y pentágono se desvanece si no hay anomalía de triángulo). La razón para hacer la contribución está en la estructura de las identidades anómalas de Ward.

Supongamos que estamos tratando con una anomalía consistente. Entonces tenemos (he omitido el subíndice$L/R$), por definición,

$$-\text{A}_{a}(x) = \delta_{\epsilon_{a}(x)}\Gamma \equiv \partial_{\mu}^{x}\frac{\delta\Gamma}{\delta A_{\mu,a}(x)} + f_{abc}A_{\mu,b}(x)\frac{\delta \Gamma}{\delta A_{\mu,c}(x)}$$ Las identidades de Ward para el $n$-punto vértice se obtienen tomando $n-1$derivadas funcionales con respecto a $A_{\mu_{i},a_{i}}$y configuración $A_{\mu_{i},a_{i}}$a cero. Se puede demostrar que las identidades de Ward para la derivada del vértice de 4 puntos (que es logarítmicamente divergente) contienen funciones de 3 vectex que son anómalas. Por lo tanto, vemos que el vértice de 4 puntos también contribuye a la anomalía (no por sí mismo, ya que solo es divergente logarítmicamente, sino a través del vértice de 3 puntos divergente linealmente).

¿Qué pasa con el vértice de 5 puntos? Las identidades de Ward para su derivada contienen solo la función de 4 puntos, por lo que a primera vista parece que no contribuye en la anomalía. Sin embargo, esto no es cierto en casos particulares. De hecho, si una de las corrientes$\text{J}_{\mu}^{a}$corriendo en el lazo es el global, podemos preservar la invariancia del indicador bombeando la anomalía al$\text{J}^{a}_{\mu}$ley de conservación. Esto se realiza en particular cambiando el vértice de 4 puntos (¡no su derivada!) por el polinomio anómalo. Por lo tanto, la identidad de Ward para el vértice de 5 puntos se vuelve anómala. Sin embargo, incluso en este caso, este vértice puede no contribuir en la anomalía (hay una situación en la que la corriente global es la abeliana); en este caso el$A^{4}$término en la anomalía se desvanece de forma idéntica debido a los argumentos del grupo.

Esto también ilustra por qué no hay contribuciones anómalas de la derivada de diagramas hexagonales y superiores.