Túneles y transmisión

Digamos que tenemos un problema de sintonización en la imagen, donde$W_p$es un paso potencial finito:

Si la partícula viene de la izquierda, las soluciones generales de las ecuaciones de Schrödinger para los intervalos separados I, II y II son:

$$\begin{align} \text{I:}& & \psi_1 &= \overbrace{A e^{i\mathcal L x}}^{\psi_{in}} + \overbrace{Be^{-i \mathcal L x}}^{\psi_{re}}& \mathcal L &= \sqrt{\tfrac{2mW}{\hbar^2}}\\ \text{II:}& & \psi_2 &= C e^{\mathcal K x} + De^{-\mathcal K x}& \mathcal K &= \sqrt{-\tfrac{2m(W-W_p)}{\hbar^2}}\\ \text{III:}& & \psi_3 &= \underbrace{E e^{i \mathcal L x}}_{\psi_{tr}}& &\\ \end{align}$$

Dónde$\psi_{in}$es una ola entrante,$\psi_{re}$es una onda reflejada y$\psi_{tr}$es onda transmitida. Usé las condiciones de contorno y obtuve un sistema de 4 ecuaciones:

$$\begin{align} {\tiny\text{boundary}}&{\tiny\text{conditions at x=0:}} & {\tiny\text{boundary conditions}}&{\tiny\text{at x=d:}}\\ A + B &= C + D & Ce^{\mathcal K d} + De^{-\mathcal K d} &= E e^{i \mathcal L d}\\ i \mathcal L A - i \mathcal L B &= \mathcal KC - \mathcal K D & \mathcal K C e^{\mathcal K d} - \mathcal K D e^{-\mathcal K d}&= i \mathcal L E e^{i \mathcal L d} \end{align}$$

Así que ahora decidí calcular el coeficiente de transmisión.$T$:

$$\begin{align} T &= \dfrac{|j_{tr}|}{|j_{in}|} \!=\! \Bigg|\dfrac{\dfrac{\hbar }{2mi}\! \left( \dfrac{d\overline{\psi}_{tr}}{dx}\, \psi_{tr} - \dfrac{d \psi_{tr}}{dx}\, \overline{\psi}_{tr} \right)}{\dfrac{\hbar}{2mi} \!\left( \dfrac{d\overline{\psi}_{in}}{dx}\, \psi_{in} - \dfrac{d\psi_{in}}{dx}\, \overline{\psi}_{in} \right) }\Bigg| \!=\! \Bigg|\dfrac{\frac{d}{dx}\big(\overbrace{Ee^{-i\mathcal L x}}^{\text{konjug.}}\big) Ee^{i\mathcal L x} - \frac{d}{dx} \left( Ee^{i\mathcal L x}\right)\! \overbrace{Ee^{-i\mathcal L x}}^{\text{konjug.}}}{ \frac{d}{dx}\big(\underbrace{Ae^{-i\mathcal L x}}_{\text{konjug.}}\big) Ae^{i\mathcal L x} - \frac{d}{dx} \left( Ae^{i\mathcal L x}\right)\! \underbrace{Ae^{-i\mathcal L x}}_{\text{konjug.}}}\Bigg|\! = \nonumber\\ &=\Bigg|\dfrac{-i\mathcal L Ee^{-i\mathcal L x} E e^{i \mathcal L x} - i\mathcal L E e^{i \mathcal L x} Ee^{-i \mathcal L x}}{-i \mathcal L A e^{-i\mathcal L x} Ae^{i \mathcal L x} - i \mathcal L A e^{i \mathcal L x}Ae^{-i \mathcal L x} }\Bigg|=\Bigg|\dfrac{-i\mathcal L E^2 - i\mathcal L E^2}{-i \mathcal L A^2 - i \mathcal L A^2}\Bigg|=\Bigg|\dfrac{-2 i \mathcal L E^2}{-2i\mathcal L A^2}\Bigg| = \frac{|E|^2}{|A|^2} \end{align}$$

Se me ocurrió que si de 4 ecuaciones del sistema puedo obtener la relación de amplitud$E/A$, puedo calcular$T$bastante fácil ¿Alguien podría mostrarme cómo obtengo esta proporción?