Cómo resolver la ecuación de Schrödinger - Tunelización

Question

Cómo resolver la ecuación de Schrödinger - Tunelización

luca82

Tengo que resolver analíticamente la ecuación de Schrödinger en una dimensión con una barrera de potencial (efecto túnel):

i h \frac{d}{d t} tu (X, t) = [(- ℏ^{2} \frac{d^{2}}{d X^{2}}) + q V (X)] tu (X, t)

$ih \frac{d}{dt} U(x,t) = \left[ \left(-\hbar^2 \frac{d^2}{dx^2} \right) + q V(x) \right] U(x,t)$

dónde: $i$ es la unidad imaginaria, ( $d/dt$ ) es la derivada del tiempo, $\hbar$ es la constante de tablones reducidos, ( $d^2/dx^2$ ) es la segunda derivada en el espacio, $V(x)$ es una función potencial externa de $x$ , $U(x,t)$ es la función de onda de tiempo y lugar. La barrera de potencial es:

V (X) = {\begin{cases} 0, & si - d < X < - L \\ V_{0}, & si - L < X < L \\ 0, & si L < X < d \end{cases}

$V(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{if } -d<x<-L \\ V_0, & \mbox{if } -L<x<L \\ 0, & \mbox{if } L<x<d \end{cases}$

con $d=10L$ y $V_0>0$ ; También las condiciones de contorno son: $U(-d,t)=U(d,t)=0$ ; y la condición inicial es

tu (X, t_{0}) = \frac{1}{\sqrt{D X}} Exp (i {PAG}_{0} \frac{X}{ℏ})

$U(x,t_{0})=\frac{1}{\sqrt{Dx}} \exp \left(i P_0 \frac{x}{\hbar} \right)$

si $-d<x<-d+Dx$ y $U(x,t_{0})=0$ si $-d+Dx<x<d$ ; dónde $Dx<<L$ y $P_0$ es el momento cuántico en t0. También sé que a veces $t_0$ , la transformada de Fourier de $U(x,t_{0})$ es un sinc centrado en $P_0$ , el valor aspectado de la posición es $-d+Dx/2$ y el valor aspectado de la velocidad es $P_0/m$ , dónde $m$ es la masa de la partícula.

Luego tengo que comparar los resultados analíticos con los resultados de los métodos FINITE ELEMENTS y FINITE DIFFERENCE.

Espero que alguien me pueda ayudar a solucionar este problema.

Alejandro

¡Bienvenido luca82 a physics.SE! Por el momento no hay realmente una pregunta en su texto. Tal vez podrías elaborar un poco lo que ya intentaste y dónde te quedaste atascado. Aquí nadie resolverá los problemas de tareas/tareas, pero muchas personas están más que dispuestas a ayudar.

dmckee --- gatito ex-moderador

Esto parece estar copiado en gran parte de su tarea, lo que nos lleva a hacerle algunas preguntas. ¿ Qué has hecho? ¿Qué entiendes aquí y qué no entiendes? ¿Dónde exactamente estás atrapado? En particular, veo al menos tres formas de intentar resolver el problema enumerado; seguramente ha podido hacer algún progreso con algunas de ellas.

Emilio Pisanty

prueba \hbar:

ℏ

$\hbar$

Emilio Pisanty

Debes tener cuidado: las soluciones serán muy diferentes dependiendo de si

P_{0}^{2}

$P_0^2$ es mayor que

q V_{0}

$qV_0$ O no.

Respuestas (1)

Cómo resolver la ecuación de Schrödinger - Tunelización

¡Bienvenido luca82 a physics.SE! Por el momento no hay realmente una pregunta en su texto. Tal vez podrías elaborar un poco lo que ya intentaste y dónde te quedaste atascado. Aquí nadie resolverá los problemas de tareas/tareas, pero muchas personas están más que dispuestas a ayudar.
Esto parece estar copiado en gran parte de su tarea, lo que nos lleva a hacerle algunas preguntas. ¿ Qué has hecho? ¿Qué entiendes aquí y qué no entiendes? ¿Dónde exactamente estás atrapado? En particular, veo al menos tres formas de intentar resolver el problema enumerado; seguramente ha podido hacer algún progreso con algunas de ellas.
Debes tener cuidado: las soluciones serán muy diferentes dependiendo de si $P_0^2$ es mayor que $qV_0$ O no.

misha · Answer 1

Sin solución completa, solo una hoja de ruta. En principio, existe una forma estándar de cómo se resuelven este tipo de problemas.

Primero resuelve el problema estacionario:

[(- h^{2} \frac{d^{2}}{d X^{2}}) + q V (X)] {tu}_{i} (X) = {mi}_{i} tu (X) .

$\left[ \left(-h^2 \frac{d^2}{dx^2} \right) + q V(x) \right] U_i(x) = E_i U(x).$ Siempre que el potencial sea simétrico, recomendaría usar esto y buscar soluciones pares e impares. Para

E < V_{0}

$E<V_0$

{tu}_{i +} (X) = {\begin{cases} A porque k (| X | - X_{0}), & si L < | X | < d \\ B C h ϰ X, & si - L < X < L \end{cases},

$U_{i+}(x) = \begin{cases} A\cos{k(|x|-x_0)}, & \mbox{if } L<|x|<d \\ B\mathrm{ch}{\varkappa x}, & \mbox{if } -L<x<L \\ \end{cases},$

{tu}_{i -} (X) = {\begin{cases} A pecado k (| X | - X_{0}), & si L < | X | < d \\ B s h ϰ X, & si - L < X < L \end{cases}

$U_{i-}(x) = \begin{cases} A\sin{k(|x|-x_0)}, & \mbox{if } L<|x|<d \\ B\mathrm{sh}{\varkappa x}, & \mbox{if } -L<x<L \\ \end{cases}$ con

k = \sqrt{\frac{2 m E}{ℏ^{2}}}

$k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}$ ,

ϰ = \sqrt{\frac{2 m (V_{0} - E)}{ℏ^{2}}}

$\varkappa = \sqrt{\frac{2m(V_0-E)}{\hbar^2}}$

Para energías superiores $V_0$ reemplazar funciones hiperbólicas con $\cos{k_2x}$ , $\sin{k_2x}$ con $k=\sqrt{\frac{2m(E-V_0)}{\hbar^2}}$ .

Si sustituye estas funciones en la ecuación, obtendrá la ecuación para la energía. Tenga en cuenta que siempre que esta forma de funciones satisfaga automáticamente la ecuación en las regiones de potencial constante, solo debe tener cuidado con las condiciones de contorno. Resuelva esta ecuación y obtenga un espectro $\left\{ E_{i\pm} \right\}_{i=1}^{\infty}$ y funciones de onda $U_i(x)$ . Obviamente, estas soluciones tienen una característica muy interesante cuando se considera un problema no estacionario:

{tu}_{i} (X, t) = {mi}^{- i \frac{ℏ}{{mi}_{i}} t} {tu}_{i} (X),

$U_i(x,t)=e^{-i\frac{\hbar}{E_i} t}U_i(x),$ lo que significa que si descompone su condición inicial en estas soluciones (lo que puede hacer porque las funciones propias de un operador hermitiano son un conjunto completo)

tu (X, t_{0}) = \sum_{1}^{\infty} C_{i} {tu}_{i} (X)

$U(x,t_0) = \sum_1^{\infty} C_i U_i(x)$ entonces la evolución temporal de la función de onda está dada por

tu (X, t) = \sum_{1}^{\infty} C_{i} {tu}_{i} (X) {mi}^{- i \frac{ℏ}{{mi}_{i}} t}

$U(x,t) = \sum_1^{\infty} C_i U_i(x) e^{-i\frac{\hbar}{E_i} t}$

Si uno necesita una solución analítica al problema, ¿la falta de expresiones elementales para las energías (que serán raíces de una ecuación trascendental, creo) no dañará severamente este enfoque? Sin ninguna esperanza de evaluar la suma, podría decirse que este es un método espectral seminumérico para resolver el problema del valor inicial
@episanty No, no lo hará. Hay una enorme diferencia entre resolver una ecuación trascendente y encontrar numéricamente soluciones de ecuaciones diferenciales. El primero se llama analítico, el segundo no lo es. De todos modos, no hay mejor solución.
Sí, está claro que no hay una solución mejor, y que los métodos de elementos finitos y de diferencias finitas están en una escala completamente diferente. Mi punto era que soy reacio a llamar a esto una solución completamente analítica ya que cualquier intento de visualizarlo (y compararlo con cualquier otro método) implicará trabajo numérico (en este lado).
Claro, uno puede escribir una fórmula explícita (¡pero no elemental!) para la solución de una manera que ningún teorema de existencia puede dar. Sin embargo, veo fuertes paralelismos entre esta solución y los métodos espectrales numéricos: este simplemente tiene un conjunto de bases espectrales particularmente bien elegido, y propagar cualquier función de base es equivalente (al menos en un sentido numérico razonable) a resolver la ecuación trascendental.
@episanty, hay un malentendido en tu punto de vista. Podría traer los mismos argumentos si la solución fuera funciones de logaritmo o bessel o cualquier otra función no trivial: también debería haber usado una computadora para obtener los números en ese caso. Simplemente llame a la solución de esa ecuación trascendente una nueva función, digamos, $Q_n(e)$ y no será muy diferente de las funciones de Bessel o Hankel, que también son difíciles de encontrar en la calculadora.
Sí, pero, de nuevo, exponenciales, logaritmos y senos son fundamentalmente soluciones de ecuaciones diferenciales que son tan difíciles de calcular como las funciones de Bessel o Hankel. Al final, es una cuestión de nomenclatura: ¿dónde se deja de llamar "analítico" a un método y dónde empieza "numérico"? Creo que esa es una cuestión subjetiva que no está en las matemáticas sino en el matemático (¡o físico!).
Ligeramente OP, pero recuerdo haber leído un artículo que expresaba la solución a una ODE como algunas funciones hipergeométricas. El problema es que, dado que las funciones hipergeométricas se evalúan mejor mediante la integración numérica de la ODE definitoria, en realidad no ayudó mucho...

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