¿Cuál es la energía de un paquete de ondas gaussianas?

Supongamos que tenemos una situación de barrera potencial, es decir V ( X ) es cero en todas partes excepto en el intervalo [ − a , a ] , donde es igual a algunos V 0 > 0 . Introduzca un paquete de ondas en forma de Gauss a la izquierda de la barrera, moviéndose a la derecha.

¿Cuál es la energía del paquete (es decir, del sistema descrito por esta función de onda) en cada instante de tiempo?

Bueno, la función de onda ψ ( X , t ) no es un estado propio de energía, por lo que supongo que la pregunta es sobre el valor esperado de la energía. ¿Significa eso simplemente llevar a cabo el cálculo?

⟨ mi ( t ) ⟩ = ∫ − ∞ ∞ d X   ⟨ ψ t | X ⟩ ⟨ X | H ψ t ⟩ ?

parece correcto
Tenga en cuenta que mi ( t ) es constante La función de onda es solo una gaussiana en t = 0 , después de lo cual la forma no es tan fácil de calcular.
El valor esperado de la energía cinética debe ser fácil e intuitivo. El valor esperado de V ( X ) es más difícil, y será expresable en términos de la función de error.
De la forma en que lo imaginé, sigue siendo más o menos gaussiano hasta que choca con la barrera, luego suceden cosas extrañas por un tiempo, y luego son dos casi gaussianos que viajan en dirección opuesta.
Si eso es correcto. Sin embargo, no son gaussianos perfectos, que yo sepa.

Respuestas (1)

Como señaló Nemis L., el valor esperado ⟨ H ⟩ es constante, debido al teorema de Ehrenfest:

d d t ⟨ H ⟩ = 1 i ℏ ⟨ [ H , H ] ⟩ = 0.
La otra forma de ver esto es que el estado se puede escribir como una superposición de estados propios de energía ortogonal.

Imagen obligatoria:Dispersión de un paquete de ondas fuera de una barrera de potencial cuadrada

Goldberg, Schey y Schwartz, Computer Generated Motion Pictures of One Dimensional Quantum Mechanical Transmission and Reflection Phenomena ", Am. J. Phys., 35, 177 (1967).)

Pero cada estado se puede escribir como una superposición de los estados propios de energía ortogonal (a través de la transformada de Fourier), ¿verdad?
Sí. Es solo un reflejo de la conservación de la energía, no algo peculiar de los estados gaussianos.
Me pregunto, ¿cómo podría introducirse aquí la disipación de energía ? ¿Es lo mismo que dispersión , la palabra que escucho todo el tiempo en relación de dispersión ?
La dispersión se refiere a diferentes momentos que viajan a diferentes velocidades, de modo que el paquete de ondas se expande. Para modelar la disipación de energía, tendría que modelar la barrera potencial como si tuviera su propia dinámica, que puede absorber energía. Un ejemplo es el modelo Caldeira-Leggett .
¡Muchas gracias! ¡Siempre me pregunté cómo se rompió matemáticamente la conservación de la energía!
Pero si pongo dos detectores en ambos lados, solo uno de ellos observa el electrón y después de la dispersión, la energía es menor que el valor inicial en cada lado. La situación es peor si se excluye la radiación considerando una barrera como un espejo donde la amplitud del paquete de ondas se reduce a la mitad. ¡¿No es una violación de la conservación de la energía?! Dado que no hay absorción ni radiación de ondas EM para compensar la pérdida de energía en el caso de la dispersión de un espejo.
Puede ignorar la barrera por completo y simplemente hablar sobre la partícula después de que fue detectada por un solo detector. Debido a que la partícula no comenzó en un estado propio de energía, parecerá "colapsar" en un estado con energía diferente. Pero el fracaso de la conservación de la energía es ilusorio. Dichos estados propios no energéticos generalmente surgen cuando ignoramos otros grados de libertad y preguntamos "¿cómo se ve la función de onda si la proyecto en este o aquel subespacio de estados?". Por ejemplo, mi partícula de estado propio de energía fue detectada por un detector y ahora me estoy enfocando en su nuevo estado propio de posición.
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