Efecto túnel cuántico en un potencial del tipo V(x)=Ax21+x4V(x)=Ax21+x4V(x)=A\frac{x^2}{1+x^4} [cerrado]

Aquí hay una respuesta no tan inteligente.

El gráfico de la función se muestra a continuación.

La línea roja indica la energía de la partícula que se está canalizando, expresada en términos de A. La línea negra indica el valor máximo del potencial, que es A/2.

La tarea es evaluar el coeficiente de transmisión de la partícula a través de una de las protuberancias del potencial.

De acuerdo con la aproximación WKB, el coeficiente de transmisión de tunelización a través de una barrera determinada viene dado por.

Para evaluar la integral, Taylor expande la raíz cuadrada en la ecuación 1 alrededor del punto x = 1. Y se llegaría a (para 0 < c < 0.5).

Ahora, los límites de la integral están determinados por los puntos en los que la línea U(x) = cA (Energía de la partícula) intercepta los baches de la curva. La integral de la raíz cuadrada en la ecuación 1 debe evaluarse entre estos puntos porque la raíz cuadrada dará lugar a números imaginarios en todos los demás puntos. Para obtener los valores de x en los que la línea U(x) = cA intercepta los baches, se debe resolver la ecuación del polinomio de cuarta potencia.

Las cuatro raíces están dadas por

Dos de estas raíces/intersecciones están en la protuberancia LHS y las otras dos están en la protuberancia RHS. Como solo estamos interesados ​​en las intersecciones en una de las protuberancias, seleccionamos solo las raíces positivas que corresponden a la intersección de U(x) en la protuberancia RHS.

Los valores anteriores en la ecuación 5 se convierten en los límites de la integral en la ecuación (1).

Ahora, para completar el problema, uno debe integrar todos los términos en la ecuación 2 con respecto a x y reemplazar los límites de la integral dada en la ecuación 5, lo cual es una tarea rutinaria (y sin embargo tediosa). El resultado se puede sustituir en la ecuación 1 para obtener el coeficiente de transmisión.

Creo que el proceso se vuelve más fácil si se conoce c. La ecuación general para todos los valores de c (c < 0,5) se vuelve bastante grande y complicada.

Referencias: 1. A. Messiah (1991), "Quantenmechanik 1", Degruyter , 1991.

2. G. Escuderos, (1995). "Problemas en mecánica cuántica", Cambridge University Press , Cambridge, Reino Unido.

Para calcular el coeficiente de transmisión, podemos usar la primera corrección en la aproximación WKB. Ignorando las constantes que podemos sacar fuera de la integral, esencialmente nos enfrentamos al problema de integración,

$$I(x) = \int \mathrm dx \, \sqrt{V(x)-E}.$$

En el caso de su potencial, entonces tenemos,

$$I(x) = \sqrt{E}\int \mathrm dx \, \sqrt{\frac{Cx^2}{1+x^4}-1}$$

dónde$C := A/E$. Ahora podemos emplear el teorema del binomio generalizado para expandir la raíz cuadrada, usando el símbolo de Pochhammer${}_rP_k$, obteniendo,

$$\sqrt{\frac{Cx^2}{1+x^4}-1} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k {}_{1/2}P_k}{k!}C^{1/2-k} \left(\frac{x^2}{1+x^4} \right)^{1/2-k}.$$

Ahora podemos integrar un término general sobre$x$, que produce una función hipergeométrica. Hay más simplificaciones para los casos$x>0$y$x<0$. Estos conducen a,

$$I(x) = \mathrm{sgn}(-x)\frac{\sqrt{E}}{4}\sum_{k=0}^\infty i^{k+1}\frac{(-1)^k {}_{1/2}P_k}{k!}C^{1/2-k} B \left(-x^4; \frac{1-k}{2},\frac{1+k}{2} \right)$$

dónde$B(z;a,b)$es la función beta incompleta. Si$x_1$y$x_2$denotamos los dos puntos de inflexión clásicos, entonces tenemos que,

$$T = \exp \left[ -2 \frac{\sqrt{2m}}{\hbar}[I(x_2)-I(x_1)]\right] \left( 1 + \frac14 \exp \left[ -2 \frac{\sqrt{2m}}{\hbar}[I(x_2)-I(x_1)]\right]\right)^{-2}.$$