La teoría de Einstein-Cartan es una generalización de la Relatividad General en la medida en que se elimina la condición de que la conexión afín métrica esté libre de torsión. En otras palabras, el espacio-tiempo es una variedad riemanniana junto con el dato de una conexión afín métrica (que puede diferir de la conexión Levi-Civita por un tensor de contorsión adecuado).
En este caso, las geodésicas (trayectorias que extremalizan localmente la longitud y que vienen dadas por un principio variacional) difieren generalmente de las autoparalelas. Hasta donde yo sé, las trayectorias de las partículas sin espín en la teoría de Einstein-Cartan generalmente se supone que son geodésicas (en lugar de autoparalelas) para que no sientan la diferencia entre la conexión dada y la conexión de Levi-Civita. (Por cierto, ¿hay una buena referencia para esta declaración?)
Mi pregunta es, ¿cómo se supone que se comportan las partículas clásicas con espín? ¿Viajarán también a lo largo de geodésicas con la única diferencia de que su dirección de giro evolucionará de acuerdo con el tensor de contorsión (visto como un -valorado de una sola forma)?
No. Las partículas con espín sentirán la torsión no solo a través de su precesión de espín, ya que las ecuaciones de movimiento para ellas (ecuaciones de Mathisson-Papapetrou) contendrán la parte asimétrica de la conexión.
Una fuente para la pregunta es la revisión.
Hehl, FW, Von der Heyde, P., Kerlick, GD y Nester, JM (1976). Relatividad general con espín y torsión: fundamentos y perspectivas. Rev.Mod. Phys., 48(3), 393. (tiene una versión en línea ).
A partir de ahí aprendemos:
Ya hemos indicado que las partículas de prueba fotónicas y sin espín no detectan torsión. Una partícula de prueba en La teoría, que podría sentir la torsión, es una partícula con giro dinámico como el electrón. Su ecuación de movimiento se puede obtener integrando la ley de conservación de la energía-momento (3.12). Al hacerlo, obtenemos directamente la ecuación de tipo Mathisson-Papapetrou para el movimiento de una partícula de prueba giratoria (Hehl, 1971; Trautman, 1972c) Adamowicz y Trautman (1975) estudiaron la precesión de una partícula de prueba de este tipo en un fondo de torsión. Sin embargo, todas estas consideraciones parecen tener únicamente un interés académico, ya que la torsión solo surge dentro de la materia. Allí, la noción misma de una partícula de prueba giratoria se vuelve oscura (H. Gollisch, 1974, inédito). Solo los neutrinos, cuya interacción con el espín se desvanece, parecen ser posibles candidatos para partículas de prueba.
(Hehl, 1971) la referencia aquí es un resultado aparentemente original sobre el movimiento de la partícula de prueba con espín:
Hehl, FW (1971). ¿Cómo se mide la torsión del espacio-tiempo?. física Letón. A, 36(3), 225-226. ( http://dx.doi.org/10.1016/0375-9601(71)90433-6 )
Para una notación más moderna (formalismo de tétrada) para las ecuaciones de Mathisson-Papapetrou mencionadas, puede usar la tesis:
Laskoś-Grabowski, P. (2009). La teoría de Einstein-Cartan: el significado y las consecuencias de la torsión. Trabajo de fin de máster págs. 17-19
Las referencias allí deben proporcionar toda la información adicional.