¿Por qué la primera ley de Newton no se puede expresar como un transporte autoparalelo en el espacio?

En la pregunta se menciona la primera ley de Newton, sin embargo, en la conferencia 9, el argumento es sobre la segunda ley de Newton. La estructura de este último no permite la descripción del transporte paralelo. La razón es que la gravedad en general depende del punto, por lo que una lectura de transporte paralelo de Newton es válida solo en una región muy limitada del espacio-tiempo. En la conferencia se da un ejemplo de un objeto que cae en el polo norte en comparación con un objeto que cae en el polo sur; no hay forma de encontrar un sistema de coordenadas para describir ambos como un transporte paralelo.
Un caso diferente es la 1ª ley de Newton cuando no hay gravedad, es decir, la fuerza newtoniana es cero. En ese caso el$\Gamma's$son cero también y el transporte paralelo se reduce a la ecuación de la línea recta en un espacio euclidiano.

Si conoce GR, esta pregunta puede molestarlo, ya que una partícula puntual relativista en un campo gravitatorio sigue geodésicas (que es un tipo especial de autoparalelas ) en el espacio-tiempo.

Pero el diablo está en los detalles: el profesor Schuller está hablando de autoparalelos en el espacio, no en el espacio-tiempo. Y argumenta que la aceleración gravitatoria$\vec{g}$(que depende de la posición, no de la velocidad) no puede ser emulado por un término cuadrático en velocidad, como se necesita en la ecuación autoparalela, cf. ecuación de OP (1).

Más tarde a las 36:06 en la misma conferencia 9, el Prof. Schuller considera la misma pregunta en el espacio-tiempo (en oposición al espacio ), y muestra que una partícula puntual en un campo gravitatorio sigue un autoparalelo en el espacio-tiempo: En el calibre estático$x^0=t$del espacio-tiempo la aceleración gravitacional$g^{\alpha}$se puede reproducir el nuevo$\Gamma^{\alpha}_{00}\dot{x}^0 \dot{x}^0$sector.