Interpretación de la ecuación de Raychaudhuri y la naturaleza atractiva de la gravedad

En muchos libros se afirma que la ecuación de Raychaudhuri es una especie de "prueba" de que, en la relatividad general, la gravedad es atractiva.

Me interesaría ver una cita de un libro que realmente diga esto. Me suena mal. Una afirmación más razonable sería la siguiente. Muchas formas de materia que conocemos (pero no la energía oscura) obedecen a ciertas condiciones energéticas . Una de estas condiciones de energía es la condición de energía fuerte (SEC), que básicamente dice que la gravedad es atractiva. La relatividad general no afirma que la gravedad sea siempre atractiva y, de hecho, ahora sabemos por observaciones cosmológicas que la gravedad no siempre es atractiva.

La ecuación de Raychaudhuri describe el resultado de la SEC. Por ejemplo, si la SEC se mantiene, entonces la ecuación de Raychaudhuri dice que la expansión cosmológica siempre debe desacelerar, nunca acelerar. Y debido a que la SEC es falsa para la energía oscura, la expansión cosmológica en realidad se está acelerando actualmente.

O, si no es así, ¿no muestra este ejemplo que la gravedad puede ser atractiva y, sin embargo, tener un efecto divergente?

Tanto la condición de energía fuerte como la ecuación de Raychaudhuri describen un paquete de partículas de prueba en tres dimensiones. No se puede sondear eso con solo dos partículas de prueba.

Hay una buena introducción a la ecuación de Raychaudhuri en el artículo Sobre la ecuación de Raychaudhuri de George Ellis, Pramana Vol. 69, núm. 1, julio de 2007${}^1$. Da la siguiente explicación intuitiva de cómo muestra la naturaleza atractiva de la gravedad:

Ellis da la ecuación en la forma:

Luego señala que si elegimos alguna escala de longitud representativa$\ell$esto esta relacionado con$\Theta$por:

Y sustituyendo esto nos da:

El lado izquierdo de la ecuación nos dice si la tasa de cambio del volumen del espacio está aumentando o disminuyendo. Un valor positivo significa que la expansión se está acelerando y un valor negativo significa que la expansión se está desacelerando. Entonces, solo necesitamos mirar los signos de los parámetros en el lado derecho para ver qué efecto tienen.

Entonces, en esta forma, es inmediatamente obvio que una constante cosmológica positiva impulsa la expansión, ya que aparece en el lado derecho con un signo positivo. Asimismo el término materia$\mu+3p/c^2$impulsa la contracción ya que aparece con signo negativo.

Pero esto supone alguna distribución de la materia.$\mu(\mathbf x)$. Usted da un ejemplo de dos partículas en una órbita hiperbólica alrededor de un planeta, pero la densidad de la materia es cero fuera del planeta, por lo que suponiendo que el CC también sea insignificante, la ecuación se convierte en:

lo cual es cierto pero no muy interesante. En este caso la ecuación de Raychaudhuri no nos dice nada útil.

${}^1$Encontré una copia en línea pero ese enlace ha desaparecido ahora. Me temo que parece que tendrás que pagar el periódico.

En muchos libros se afirma que la ecuación de Raychaudhuri es una especie de "prueba" de que, en la relatividad general, la gravedad es atractiva. T

Una ecuación realmente no prueba nada. Y dado que es " importante como lema fundamental para los teoremas de singularidad de Penrose-Hawking ", diría que tiene razón al cuestionarlo.

Esto se hace considerando un conjunto de geodésicas y demostrando que, bajo ciertas condiciones razonables, su expansión$\theta$tiene una derivada temporal negativa. Esto implica que un haz de geodésicas tiende a converger a medida que pasa el tiempo y, por lo tanto, implicaría que la curvatura del espacio-tiempo produce una fuerza de atracción.

La curvatura del espacio-tiempo está asociada con la fuerza de marea, que se relaciona con la segunda derivada del potencial. No la fuerza de la gravedad, que se relaciona con la primera derivada del potencial: el gradiente en el potencial. No hay una fuerza de marea detectable en la habitación en la que estás, pero tu lápiz aún se cae. La luz también se curva hacia abajo. La gente tiende a decir "la luz sigue una geodésica", donde una geodésica es la línea más corta posible entre dos puntos en una superficie curva. Pero esa luz no sigue la curvatura del espacio-tiempo. Como analogía, imagine una tabla rígida. Levante un lado y luego haga rodar una canica sobre él. El camino de la canica se curva porque el tablero tiene una pendiente, no porque sea curvo. Por supuesto, en la analogía de la hoja de goma, necesitas algo de curvatura para tenerun gradiente, pero es importante apreciar que la luz se curva más donde el gradiente en el potencial gravitacional es mayor, no donde la curvatura es mayor.

Sin embargo, tengo un problema con esta interpretación. Un haz de geodésicas implica un haz de partículas de prueba: objetos cuya influencia gravitatoria puede despreciarse. Se supone que la curvatura del espacio-tiempo proviene de alguna otra distribución de materia, no de nuestras geodésicas. ¡Parece que estamos demostrando que las partículas de prueba se atraen entre sí! Pero eso no es lo que hace la gravedad: las partículas de prueba deben ser atraídas por la materia, no entre sí. ¿Estoy malinterpretando la interpretación de la ecuación de Raychaudhuri?

Creo que sí. Se trata de la fuerza de las mareas, donde er, la pelota de fútbol se convierte en una pelota de rugby . O un "fútbol" americano si lo prefieres.

De hecho, puedo pensar en una situación en la que la gravedad podría tener un efecto divergente (hágame saber si esta parte debería ser una pregunta aparte). Considere dos partículas de prueba vecinas que se dirigen en la dirección general de un planeta, con parámetros de impacto$b$y$b + \delta b$: uno de ellos pasará más cerca del planeta que el otro. Entonces, la partícula más cercana se desviará más que la partícula más lejana, de modo que sus trayectorias divergirán cuando pasen cerca del planeta. ¿No contradice esto la ecuación de Raychaudhuri? O, si no es así, ¿no muestra este ejemplo que la gravedad puede ser atractiva y, sin embargo, tener un efecto divergente?

La fuerza de marea es un efecto "divergente" también. Si estás cayendo en un agujero negro, la gente dice que te espaguetizas. Pero no te espaguetizas a lo ancho. En su lugar, se "enfoca" a lo ancho. Sin embargo, esto es solo porque la fuerza de gravedad hacia abajo en sus pies es mayor que la fuerza de gravedad hacia abajo en su cabeza. No es porque la fuerza de la gravedad sea siempre hacia abajo, aunque lo sea. Siempre es hacia la concentración de energía lo que "condiciona" el espacio circundante porque este condicionamiento es similar a establecer un gradiente de densidad de energía en el espacio. No es lineal, por lo tanto, la curvatura del espacio-tiempo. Ver el discurso de Leyden de 1920 de Einstein :"Según esta teoría, las cualidades métricas del continuo del espacio-tiempo difieren en el entorno de diferentes puntos del espacio-tiempo, y están parcialmente condicionadas por la materia que existe fuera del territorio bajo consideración".