¿Diferencias entre el espín de QFT y la teoría de Einstein-Cartan?

Buenas tardes a todos,

Actualmente estoy estudiando QFT y fundamentos de la Relatividad General (GR) y la teoría de Einstein-Cartan (EC). Es decir, acabo de estudiar la definición del tensor tensión-energía de Belinfante-Rosenfeld y su particular equivalencia con el tensor tensión-energía simétrico ordinario de GR. Entonces entiendo que esta definición del tensor tensión-energía podría ser la más adecuada ya que satisface las leyes de conservación de QFT/GR y por las evidencias empíricas de QFT/GR respectivamente.

Sin embargo, no entiendo el concepto de "giro" cuando se consideran GR o EC. He visto de S. Weinberg - Gravitation and Cosmology la siguiente definición para un vector de espín:

$S_{\mu}=\epsilon_{\mu \nu \lambda \rho}\,J^{\nu \lambda}\,u^{\rho}$,

dónde$J^{\nu \lambda}=\int{(x^{\nu}\,T^{\lambda 0}-x^{\lambda}\,T^{\nu 0})\,dx^{3}}$,$T^{\lambda \rho}$es el tensor tensión-energía (supongo que es el tensor tensión-energía canónico, aunque es simétrico en el caso particular considerado por Weinberg) y$u^{\rho}$es la velocidad de cuatro.

Supongo que esta definición debería reproducir las expresiones correctas para el espín de los campos escalar, espinoral y vectorial teniendo en cuenta la expresión del tensor tensión-energía de dichos campos. ¿Es esto correcto?

Por otro lado, no entiendo la cantidad de tensor de espín.$\frac{\delta S}{\delta \Gamma^{\lambda}\,_{\rho \nu}}$presentes en la teoría EC, donde$\Gamma^{\lambda}\,_{\rho \nu}$son los componentes de la conexión afín con torsión. ¿Cuál es la diferencia entre este tensor de espín y el vector de espín de Weinberg definido anteriormente? Por ejemplo, de acuerdo con la teoría EC, el tensor de espín de la materia es idénticamente cero si el tensor de torsión desaparece y se recupera el GR, sin embargo, existen otras cantidades (como se puede ver arriba) que representan el espín de la materia en tal caso de GR. . Entonces, considerando también la evidencia empírica, ¿cuál es la expresión apropiada para el giro de la materia?

En mi opinión, una posible respuesta es que el tensor de espín presente en la teoría EC es la única cantidad para representar el espín de la materia en esa teoría y, por lo tanto, tiene la propiedad singular de desaparecer cuando la torsión es cero, por lo que este marco exige la existencia de torsión para introducir fuentes giratorias en el universo (ya que GR exige curvatura cuando está presente un tensor de tensión-energía). Además, el enfoque estándar de GR dado por Weinberg et al. no necesita la presencia de torsión y logra describir el giro de la materia sin la presencia de torsión (es decir, solo en un espacio-tiempo curvo), por lo que ambos enfoques son compatibles con la evidencia empírica actual pero desde un punto teórico de vista tienen diferencias fundamentales. ¿Es esto correcto?

Además sé que el tensor esfuerzo-energía de EC es generalmente asimétrico y no tengo ningún problema con este resultado, solo con las posibles relaciones y diferencias entre las cantidades de espín de las teorías mencionadas.

Atentamente.