Torsión del espacio-tiempo, el tensor de espín y el espín intrínseco en la teoría de Einstein-Cartan

Permítame primero referirlo a la siguiente revisión de IL Shapiro, que contiene mucha información teórica y fenomenológica sobre la torsión del espacio-tiempo. La respuesta se basará principalmente en esta revisión.

En la teoría básica de Einstein-Cartan, en la que la parte antisimétrica de la conexión se toma como grados de libertad adicionales independientes, la torsión no es dinámica: (aparte de un término superficial que no contribuye a las ecuaciones de movimiento).

A continuación, solo se considerará el acoplamiento mínimo a la gravedad (en el que el tensor métrico plano se reemplaza por el tensor métrico completo y las derivadas se reemplazan por derivadas covariantes). Hay una gran cantidad de sugerencias para acoplamientos no mínimos en la mayoría de los cuales la torsión se vuelve dinámica.

La contribución de torsión a la parte gravitacional del Lagrangiano es cuadrática en los componentes de torsión, consulte la ecuación de Shapiro: (2.15), donde los términos adicionales a la torsión se pueden expresar de manera más económica utilizando el tensor de contorsión cuyas componentes son combinaciones lineales de la torsión tensor:

$$K_{\alpha\beta\gamma} = T_{\alpha\beta\gamma} -T_{\beta\alpha\gamma}-T_{\gamma\alpha\beta}$$

Un campo escalar con acoplamiento mínimo a la gravedad, no requiere derivadas covariantes porque la derivada covariante de un escalar es idéntica a su derivada ordinaria, así el campo escalar Lagrangiano no depende de la torsión, por lo tanto en el caso de un campo escalar acoplado a la gravedad , la torsión permanece sin origen, y sus ecuaciones de movimiento implican su desaparición.

Cuando el campo de Dirac se acopla a la gravedad con torsión, el Lagrangiano se puede escribir de la siguiente forma

$$\mathcal{L} = e^{\mu}_a\bar{\psi}\gamma^a (\partial_{\mu} -\frac{i}{2}\omega_{\mu}^{cd}\sigma_{cd} )\psi + e_{\mu a} K_{\alpha\beta\gamma} \epsilon^{\mu\alpha\beta\gamma} \bar{\psi}\gamma^a \gamma_5 \psi$$

($e$son los vielbeins y$\omega$, la parte sin torsión de la conexión de espín, ambos no dependen de la torsión).

Tomando la variación con respecto a las componentes de contorsión, obtenemos una ecuación algebraica de movimiento para el tensor de contorsión:

$$K^{\alpha\beta\gamma} = \frac{\kappa}{4}e_{\mu a} \epsilon^{\mu\alpha\beta\gamma} \bar{\psi}\gamma^a \gamma_5 \psi$$

($\kappa = 8 \pi G$). El último término en el Lagrangiano es simplemente de la forma:

$$\mathcal{L_K} = K_{\alpha\beta\gamma} \sigma^{\alpha\beta\gamma}$$

Dónde$\sigma^{\alpha\beta\gamma}$es la parte de espín intrínseco de la corriente de Noether correspondiente a la simetría local de Lorentz:

$$M^{\alpha\beta\gamma} = x^{\alpha}\Theta^{\beta\gamma}-x^{\beta}\Theta^{\alpha\gamma}+\sigma^{\alpha\beta\gamma}$$

$\Theta$es el tensor de energía de tensión. Este ejemplo muestra que para el campo de Dirac, la fuente de torsión es el tensor de giro.

Como se puede observar, la torsión se acopla axialmente al campo de Dirac. Se sabe que este tipo de acoplamiento produce anomalías. Un análisis cuidadoso muestra que en el sector bariónico, los mismos criterios de cancelación de anomalías del modelo estándar conducen a la cancelación de las anomalías axiales debidas a torsión también, pero no en el sector leptónico. Esta es una de las dificultades de esta teoría. Una posible solución es absorber la contribución de torsión en la definición de la corriente axial. A diferencia de los campos de norma y de fotones, donde esta contribución no es invariante de norma, dado que el campo de torsión no es un campo de norma, esta redefinición parece posible. Esto también parece consistente con el teorema del índice de Atiyah-Singer que establece que la densidad de la anomalía debe ser igual a la clase de Pontryagin, que es un invariante topológico,

Existe otra dificultad relacionada con el acoplamiento de torsión que proviene del hecho de que la torsión se acopla solo a la parte intrínseca de los campos:

En el caso de campos de norma como el campo de Maxwell. El espín intrínseco no es invariante de calibre y solo la suma del espín y el momento angular orbital es invariante de calibre. Así, aunque el acoplamiento mínimo conduce a un acoplamiento de la torsión al espín intrínseco, se pierde la invariancia de calibre. El siguiente artículo reciente de Fresneda, Baldiotti y Pereira revisa algunas de las sugerencias para superar este problema.