Tratar con valores absolutos después de la sustitución trigonométrica en ∫1+x2√x dx∫1+x2x dx\int \frac{\sqrt{1+x^2}}{x} \text{ d}x.

Estaba haciendo esta integral y me preguntaba si la función signum sería un método viable para abordar dicha integral. Parece que no puedo encontrar ninguna otra manera de ayudar a integrar el | segundo ⁡ θ | término en el numerador del integrando.

∫ X 2 + 1 X  d X     = X = broncearse ⁡ θ ∫ segundo 2 ⁡ θ segundo 2 ⁡ θ broncearse ⁡ θ  d θ     = ∫ | segundo ⁡ θ | segundo 2 ⁡ θ broncearse ⁡ θ  d θ     = ∫ firmar ( segundo ⁡ θ ) segundo 3 ⁡ θ broncearse ⁡ θ  d θ     = firmar ( 1 + X 2 ) ( − registro ⁡ | 1 + X 2 + 1 X | + 1 + X 2 ) + C

Está claro que firmar ( 1 + X 2 ) = 1 ya que el signo del argumento de esa función siempre es positivo y la función signum extrae el signo. Así que dejaría la integral como:

∫ X 2 + 1 X  d X = registro ⁡ | X | − registro ⁡ ( 1 + X 2 + 1 ) + 1 + X 2 + C

¿Estaría bien?

Además, aparentemente Wolfram ha sugerido que mi resultado final debería haber X Opuesto a | X | en el argumento del primer logaritmo. ¿Porqué es eso?

¡Cualquier ayuda sería muy apreciada!

La sustitución real que está utilizando es θ = arcán ⁡ X , entonces − π 2 < θ < π 2 y por lo tanto segundo ⁡ θ ≥ 0 .
Nota: pecado ⁡ ( broncearse − 1 ⁡ ( X ) ) = X 1 + X 2
wolframio da registro ⁡ X en lugar de registro ⁡ | X | , no se si te equivocas
Edité el título. "Necesito ayuda" es redundante; está claro que necesita ayuda porque está publicando una pregunta. Además, las matemáticas mostradas en los títulos rompen el diseño de las listas de preguntas.

Respuestas (4)

Quiero compartir con ustedes mi método usando la racionalización.

∫ X 2 + 1 X d X = ∫ X 2 + 1 X X 2 + 1 d X = ∫ X 2 + 1 X 2 d ( X 2 + 1 ) = ∫ ( 1 + 1 X 2 ) d ( X 2 + 1 ) = ∫ 1 d ( X 2 + 1 ) + ∫ 1 ( X 2 + 1 ) 2 − 1 d ( X 2 + 1 ) = X 2 + 1 + 1 2 en ⁡ | X 2 + 1 − 1 X 2 + 1 + 1 | + C
¡Deseo que disfrutes de la solución!

X = pecado ⁡ tu

S = ∫ 1 + X 2 X d X = ∫ aporrear 2 ⁡ tu pecado ⁡ tu d tu = ∫ { C s C h   tu + pecado ⁡ tu } d tu = − en ⁡ ( C s C h   tu + C o t h   tu ) + aporrear ⁡ tu + C

aporrear ⁡ pecado − 1 ⁡ X = 1 2 { X + X 2 + 1 + 1 X + X 2 + 1 } = 1 + X 2

S = en ⁡ X + 1 + X 2 − en ⁡ ( 1 + X 2 + 1 ) + C

Claramente es simplemente una conveniencia tener | X | .

Creo que es correcto. La respuesta de Wolfram solo está definida para X > 0 , mientras X 2 + 1 X tiene una antiderivada para X < 0 también.

Para evitar valores absolutos

∫ 1 + X 2 X d X = ∫ X 1 + X 2 + 1 X 1 + X 2   d X =   1 + X 2 − bata − 1 1 + X 2
que es válido para todos los dominios X .

Tratar con valores absolutos después de la sustitución trigonométrica en ∫1+x2√x dx∫1+x2x dx\int \frac{\sqrt{1+x^2}}{x} \text{ d}x.
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