¿Es este un método válido para ∫1x4+1dx∫1x4+1dx\int \frac {1}{x^4 +1} dx

He visto otros métodos para integrar esto en StackExchange, pero me pregunto si lo que estoy haciendo también es válido.

$$\int \frac {1}{x^4 + 1} dx$$

$$\int \frac {1}{(x^2 + 1)(x^2-1)+2} dx$$

Usando la sustitución trigonométrica:$x = \tan(u), \,dx = \sec^2(u)\, du$

$$\int \frac {\sec^2u}{((\tan^2(u) +1)(\tan^2(u)-1)+2) } du$$

Usando identidades trigonométricas:$\tan^2(u) +1= \sec^2(u)$, y completando la sustitución trigonométrica la integral se convierte en:

editar: corchetes eliminados alrededor de la variable para facilitar la lectura

$$\int \frac {\sec^2u}{(\,(\sec^2u)\ ((\,(\sec^2u-1)-1)+2) } du$$

$$\int \frac {\sec^2u}{(\,(\sec^2u\,)(\sec^2u-2)+2) } du$$

Procediendo a lo desconocido:

$$\int \frac {\sec^2u}{((\sec^4u-2\sec^2u)+2) } du$$

$$\int \frac {\sec^2u}{(\sec^4u-2\sec^2u + 2) } du$$

haciendo una sustitución$v=\sec^2u$no simplificaría esto más por lo que puedo ver ya que:$dv = 2(\sec^2u)( \tan u)\, du$

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trabajo anterior:

$$\int \cos^2(u)\, du$$

$$\frac{1}{4}(2u+\sin(2u))$$

Usando$\sin(2u) = 2\sin(u)\cos(u)$y sustitución hacia atrás de:$u = \arctan(x)$

$$\frac{1}{4}(2\arctan(x)) * 2\sin(\arctan(x))\cos(\arctan(x))$$