Tratando el potencial delta en una ecuación de Schroedinger en 1D

El problema distribucional de multiplicar una distribución delta de Dirac con una función de onda no uniforme$\psi$puede evitarse reescribiendo el TISE como una ecuación integral, cf. mi respuesta Phys.SE aquí .

Tomado literalmente,$\hat H = -\frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2} + \lambda \delta(x)$no es un operador genuino en$L^2(\mathbb R)$. Uno puede ver esto al notar que incluso si pudiera dar sentido a la expresión$\delta(x)\psi(x)$, la función

no sería integrable al cuadrado.

Considere en cambio la partícula libre en el espacio de Hilbert$L^2\bigg((-\infty,0)\cup(0,\infty)\bigg)$, con producto interior

Para la partícula libre estándar en una línea, ese término límite se desvanece porque si$\psi$y$\phi$son dos veces (débilmente) diferenciables, entonces ellos y sus primeras derivadas deben ser al menos continuas. Sin embargo, en este espacio de Hilbert, es posible que las funciones dos veces diferenciables tengan límites completamente diferentes como$x\rightarrow 0$desde la izquierda y la derecha.

Si$\hat H$es ser hermitiano, entonces el dominio que consta de funciones diferenciables dos veces cuyas segundas derivadas son integrables al cuadrado (que es el dominio estándar en el$L^2(\mathbb R)$caso) es demasiado grande. Necesitamos agregar restricciones en forma de condiciones de contorno para asegurar que el término de contorno desaparezca.

Puede comprobar que las condiciones de contorno

con$\alpha\in \mathbb C$y$\lambda\in\mathbb R$son suficientes para eliminar el término límite no deseado. Sin embargo, este es precisamente el conjunto de condiciones de contorno que surge de la$\delta(x)$potencial.

En resumen, vemos que la partícula libre en la línea desconectada requiere un tipo específico de condición de contorno en el dominio del hamiltoniano en el punto de desconexión para que$\hat H$ser hermitiano. Hay múltiples opciones que uno podría hacer (por ejemplo, uno podría requerir que$\psi(x)\rightarrow 0$como$x\rightarrow 0$), pero si exigimos que (i)$\psi$se aproxima al mismo valor por la izquierda y la derecha, y (ii)$\psi'$tienen una discontinuidad de salto igual a un número real por el límite antes mencionado, entonces$\hat H$será hermitiano.

Por otra parte, obtenemos las mismas condiciones considerando el hamiltoniano$\hat H = -\frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2} + \lambda \delta(x)$en el espacio de Hilbert$L^2(\mathbb R)$, siempre y cuando no hagamos demasiadas preguntas sobre$\hat H$en el punto$x=0$. Por lo tanto, podemos considerar que la función delta hamiltoniana algo suelta es una "receta" que nos da el mismo resultado que la partícula libre más rigurosa, pero también algo más molesta, en una línea desconectada.