Partícula de pozo infinito sujeta a dependencia de tiempo adicional. potencial

Bueno, sin el potencial delta la función de onda es

$$\tag{1} \psi_0(x,t)~=~\exp\left[ -\frac{iE_1 t}{\hbar}\right] \phi(x) ,$$

dónde

$$\tag{2} \phi(x)~:=~\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\frac{\pi x}{L}, \qquad E_1~:=~ \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\pi^2}{L^2}.$$

A continuación, se supone que debemos incorporar el efecto "completo" de la función delta$\delta(t)$(a diferencia de la "mitad" del efecto si elegimos incorrectamente comenzar en$t=0$). En otras palabras, solo sabemos que (1) es cierto para tiempos estrictamente negativos$t<0$. Si$\epsilon>0$denota una pequeña cantidad positiva infinitesimal, entonces

$$\tag{3} \psi(x,-\epsilon)~=~ \phi(x).$$

Por lo tanto

$$\tag{4} \psi(x,t)~=~T\exp\left[ -\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t\!dt^{\prime}\hat{H}(t^{\prime}) \right]\psi_0(x,t_0)$$

para$t_0<0$, dónde$T$denota el orden del tiempo. Sin embargo, no es tan fácil trabajar directamente en términos de la ec. (4). Es más fácil integrar la ecuación de Schrödinger a partir de$t=-\epsilon$a$t=\epsilon$, como OP sugiere:

$$\tag{5} i\hbar(\psi(x,\epsilon)-\psi(x,-\epsilon))~=~\int_{-\epsilon}^{\epsilon}\!dt^{\prime} \hat{H}(t^{\prime})\psi(x,t^{\prime})~=~\frac{\pi\hbar x}{L}\psi(x,0).$$

Entonces la función de onda tiene una discontinuidad en$t=0$. A continuación suponemos que el valor en$t=0$es el promedio de los límites de derecha e izquierda:

$$\tag{6} \psi(x,0)~=~\frac{\psi(x,\epsilon)+\psi(x,-\epsilon)}{2}.$$

De las ecs. (3), (5) y (6), deducimos que

$$\tag{7} \psi(x,\epsilon) ~=~\frac{1-\frac{i\pi x}{2L}}{1+\frac{i\pi x}{2L}}\phi(x) .$$

Lo que queda es encontrar la función de onda.$\psi(x,t)$para finito$t>0$. Eso se lo dejamos a OP.

Es posible que desee probar una transformada de Laplace o Fourier en el tiempo en la ecuación de Schrödinger. Entonces obtendrá lo que es efectivamente una ecuación de función propia como$\hat{H} \Psi = E \Psi$, pero con las frecuencias (es decir, la "energía" real)$\omega$determinado por las condiciones de contorno en$\Psi$. Dado que conoce la condición inicial, diría que debe usar una transformada de Laplace ya que eso le dará la dependencia del tiempo del nuevo estado.

En cuanto a cómo manejar la función delta en cero, piénsalo así:

$$\begin{equation} F(0) = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{-\epsilon}^{\epsilon} \delta(x) F(x) = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{-\epsilon}^{0} \delta(x) F(x) + \int_{0}^{\epsilon} \delta(x) F(x) \end{equation}$$ y $\delta(x)$se supone una función par, por lo que $\delta(-x) = \delta(x)$. Entonces, la regla habitual es tomar la integral sobre "la mitad" de una función delta como la mitad del valor de la función en ese punto.