Ecuación de Schrödinger 2D independiente del tiempo

Estoy considerando la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en dos dimensiones,

$$\frac{-\hbar^2}{2m}\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right)\psi + U(x,y)\,\psi = E\,\psi \ \ .$$

Los libros de texto suelen considerar el caso de un potencial constante o cero$U$dentro de unos límites. La forma de resolver la ecuación sería entonces separar las variables,$\psi(x,y) = f(x)\cdot g(y)$.
$U$ser constante permite separar la ecuación, por ejemplo, poniendo todos$x$dependencia de un lado de la ecuación y todos$y$dependencia del otro lado.

Ahora, estoy interesado en el caso donde$U(x,y)$no es (por partes) constante, y tampoco solo depende de una sola variable. Me parece que en este caso la separación de las variables ya no funciona necesariamente. Sin embargo, ¿hasta qué punto es esto generalmente cierto? ¿Existen clases de potenciales para los cuales la ecuación de Schrödinger todavía es separable?

Intuitivamente pensé que los potenciales como

1. $U(x,y) = v(x) + w(y)$o
2. $U(x,y) = v(x)\cdot w(y)$

todavía debe ser de alguna manera especial en el sentido de que también la solución$\psi$sería separable de un modo u otro. Para el caso de separabilidad aditiva (caso 1.) del potencial (como el oscilador armónico) este parece ser el caso, mientras que para el segundo caso no, aunque compartirían la misma simetría.

¿Existe alguna ley general detrás de eso, por ejemplo, los potenciales separables aditivamente dan soluciones separables, los potenciales separables multiplicativamente no? ¿Está mal mi intuición?