¿Por qué la función de onda no es igual a 0 en el pico del potencial delta de Dirac, pero es 0 para los límites del pozo cuadrado infinito?

Tenga en cuenta que la función delta de Dirac no es realmente una función. Por lo general, se presenta a los estudiantes de física como un "pico infinito" tal que si$f(x)=\delta(x)$entonces$f(0)=\infty$. Esto no es muy riguroso y conduce a confusiones como la que está enfrentando ahora.

En cambio, considere la "función" delta de Dirac como el límite de una función que tiene un pico de altura y ancho finitos en$x=0$ya que hacemos que la espiga se haga más alta y más delgada, al mismo tiempo que requerimos que el área debajo de la espiga sea constante. Entonces verá que el pico es solo una parte del potencial; no es una condición de contorno.

Recuerde, la razón por la que no queremos una función de onda distinta de cero en la región de potencial infinito del pozo cuadrado es porque es una región no infinitesimal con potencial infinito. Este no es el caso para el límite anterior, ya que el potencial solo se acercará al infinito en un solo punto, por lo que no tenemos problemas para no establecer$\psi(0)=0$donde se centra la función delta de Dirac.

En cuanto a la solución propuesta, si tuviera que resolver el resto del problema, encontraría$A=B=C=0$, entonces la única manera$\psi(0)=0$es si no tienes ninguna partícula en absoluto.

Las funciones de onda físicas deben tener energía finita, pero no siempre es el caso que$V(x) = \infty \Rightarrow \psi(x) =0$

Para el potencial cuadrado infinito, si$\psi$no es cero fuera del pozo, entonces$\int \psi^* H\psi$será infinito.

Para el$\delta$(o el potencial de Coulomb, para el caso), hay funciones de onda$\psi$con$\psi(0) \neq 0$y$\int \psi^* H \psi < \infty$.

Esto es porque$\int {\rm{d}} x \psi^* (x) \delta(x) \psi(x) = |\psi(0)|^2$.